Condición de cálculo de variaciones

Question

Teniendo en cuenta esto:

$$\int_0^1\left(\frac{1}{2}y'^2+yy'+y'+y\right)dx$$

donde

$$y(0)=1$$

Estoy para mostrar que el extremo se puede encontrar mediante la imposición de esta condición:

$$y'+y+1=0$$

en $x=1$

La identidad de Beltrami da:

$$\frac{d}{dx}\left(y'\left(y'+y+1\right)-\left(\frac{1}{2}y'^2+yy'+y'+y\right)\right)=0$$

Así que

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}y'^2-y\right)=0$$

que no parece darme la condición que necesito.

Si pruebo la ecuación de Euler-Lagrange, obtengo algo más cercano:

$$\frac{d}{dx}\left(y'+y+1\right)-\left(y'+1\right)=0$$

Así que

$$\left(y'+y+1\right)|_{x=1}=\left(y+x\right)|_{0}^{1}+\left(y'+y+1\right)|_{x=0}$$

$$\left(y'+y+1\right)|_{x=1}=y(1)+y'(0)+2$$

El LHS es lo que busco, pero no veo cómo hacer que el RHS sea $0$ . ¿Cómo puedo mostrar la condición requerida?

Answer 1

Al derivar la ecuación de Euler-Lagrange se toman variaciones de $y$ . Sea $h$ sea una variación. Porque $y(0)=1$ es fijo, tenemos $h(0)=0$ para la variación. Sin embargo, $h(1)$ puede ser arbitraria. Entonces $$ \int_0^1 y'h' + y'h + yh' + h' + h \,dx = 0 $$ Después de integrar por partes, obtenemos $$ (y'+y+1)h\big|_0^1 + \int_0^1 (-y'' +1)h \, dx = 0\,, $$ y así la ecuación de Euler-Lagrange es $$ y'' = 1\,,$$ junto con la condición de contorno $$ y'(1)+y(1)+1 = 0\,.$$

Answer 2

El siguiente SymPy script

from sympy import *

x = Symbol('x')
y = Function('y')(x)

# define Lagrangian
L = 0.5*(Derivative(y,x))**2 + y*Derivative(y,x) + Derivative(y,x) + y

# Euler-Lagrange equation
print euler_equations(L,y,x)

produce

[Eq(-1.0*Derivative(y(x), x, x) + 1, 0)]

Así, la EDO de Euler-Lagrange es $y'' = 1$ . Integrando dos veces, obtenemos la familia de soluciones

$$y (x) = c_0 + c_1 x + \frac{x^2}{2}$$

Desde $y (0) = 1$ obtenemos $c_0 = 1$ . Para determinar $c_1$ Se necesita más información.