existencia de un homomorfismo de anillo dado un diagrama

Question

Dejemos que $K$ sea un campo, $T_i$ , $T'_i$ algunas variables, y $I$ , $J$ ideales.

Dado $\varphi$ un homomorfismo de anillo, y $\mu$ , $\mu'$ (el homomorfismo del cociente)

¿Existe un homomorfismo de anillos $\phi$ ¿tal que el siguiente diagrama conmuta? ¿Es único? Sé que tengo que usar el hecho de que esos anillos son libres, pero ¿cómo?

$\require{AMScd} \begin{CD} K[T'_1,\ldots,T'_n] @>{\phi?}>> K[T_1,\ldots,T_m]\\ @VV\mu 'V @VV \mu V \\ K[T'_1,\ldots,T'_n] /J@>{\varphi}>> K[T_1,\ldots,T_m] /I \end{CD}$

Answer 1

El hecho de que la columna derecha de su diagrama tenga un anillo polinómico es irrelevante. Por lo tanto, se da $K[X_1,X_2,\dots,X_n]$ un ideal $J$ del mismo, un (conmutativo) $K$ -Álgebra $R$ un ideal $I$ del mismo y un $K$ -homomorfismo de álgebra $\varphi\colon K[X_1,X_2,\dots,X_n]/J\to R/I$ .

Denotando por $\alpha\colon K[X_1,X_2,\dots,X_n]\to K[X_1,X_2,\dots,X_n]/J$ y $\beta\colon R\to R/I$ las proyecciones canónicas, queremos encontrar un homomorfismo de anillo $\psi\colon K[X_1,X_2,\dots,X_n]\to R$ tal que $$ \beta\circ\psi=\varphi\circ\alpha $$ Dicho homomorfismo se determina una vez que asignamos imágenes para $X_1,X_2,\dots,X_n$ . Sólo toma $r_i\in R$ (para $i=1,2,\dots,n$ ) tal que $\beta(r_i)=\varphi(\alpha(X_i))$ y ya está, declarando $\psi(X_i)=r_i$ .

No hay unicidad, porque los elementos $r_i$ en general pueden ser elegidos de diferentes maneras (difiriendo por elementos de $I$ ).