Volumen de un sólido generado por un cuadrado que gira y se expande

Question

Los lados de un cuadrado son inicialmente $4m$ en longitud y aumenta a un ritmo constante de $3m$ por segundo. Una esquina del cuadrado se mueve a lo largo de una línea $L$ a una velocidad de $2m/s$ para $5$ segundos. Durante este tiempo el cuadrado da una vuelta completa alrededor de $L$ que gira a una velocidad constante y permanece siempre perpendicular a $L$ . Calcula el volumen del sólido generado.

Estoy un poco confundido por este problema.
Ahora lo que he entendido es que, si la línea $L$ coincide con un lado de un cuadrado, entonces la tasa de cambio de la longitud del lado no coincide con la tasa de cambio de la esquina. También existe el mismo problema si consideramos el $L$ como en la diagonal. Así que probablemente debe ser una perpendicular al plano.
Como se indica en aquí

Pero en este caso la longitud del lado también cambiará.
Tampoco veo exactamente por qué el volumen de este sólido debe ser igual a (área de una sección transversal) $^2$$ h$ .
Le agradezco su ayuda.

Answer 1

En primer lugar, es correcto que el cuadrado está en un plano perpendicular a la línea $L$ Sin embargo, estás entendiendo mal la pregunta a la que haces referencia, no están diciendo que el volumen es igual al área de la sección transversal al cuadrado por la altura, como dijeron, la sección transversal tiene área igual a la longitud del lado al cuadrado, por lo que en $s^2h$ el cuadrado ya forma parte de la sección transversal. Esta fórmula era válida en ese problema porque las secciones transversales tenían igual área, así que si se tuerce el sólido, se puede convertir en un prisma rectangular sin cambiar el volumen. En este problema, el área de la sección transversal no es constante, por lo que al desenroscar el sólido no obtenemos un prisma, sino un cono truncado con base cuadrada. Sólo tenemos que integrar el área de la sección transversal con respecto a la altura.

Answer 2

Gracias por tu comentario @Robo300.
Así que creo que deberíamos tenerlo como:

En el momento "t" la longitud del lado = $4+3t$ .
En $t^{th}$ segundo t= $h/2$
Así que a la altura $h$ la longitud del lado = $4+\frac{3h}{2}$ .
Por lo tanto, el volumen de la pieza infiniticimal = $(4+\frac{3h}{2})^2dh$ .
De ahí el volumen total: $\int\limits_0^{10}(4+\frac{3h}{2})^2dh$ . (Altura total aumentada = 10)

¿No es así?