Desigualdad del logaritmo de la traza $\operatorname{tr}\log (A) \leq \operatorname{tr}(A-I)$ para las matrices $A$ con valores propios estrictamente positivos

Question

• Hace poco me encontré con La desigualdad de Klein que establece que para cualquier Hermitiano matrices $A, B$ del mismo tamaño y cualquier función cóncava diferenciable $f :(0,\infty) \to \mathbb R$ tenemos

$$\operatorname{Tr}\left[f(A)-f(B)-(A-B) f^{\prime}(B)\right] \leq 0$$

donde $f(A)$ es el mapa inducido definido sobre los valores propios y los correspondientes proyectores $P$ como $f(A) \equiv \sum_{j} f\left(\lambda_{j}\right) P_{j},$ dada la descomposición espectral $A=\sum_{j} \lambda_{j} P_{j}$ . Cuando $f= \log$ y $B=I$ La identidad de Klein parece dar

$$\operatorname{Tr}\left[\log(A)-(A-I)\right] \leq 0$$

• Esto se asemeja a la identidad habitual que tenemos en $1D$ a saber, $\log x \leq x-1$ .

• Del mismo modo, para cualquier matriz $A$ satisfaciendo $\|A-I\|<1$ en la norma del operador tenemos, por la expresión de la serie de potencias de $\log$ alrededor de $I$ :

$$\log (A)=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1} \frac{(A-I)^{k}}{k}=(A-I)-\frac{(A-I)^{2}}{2}+\frac{(A-I)^{3}}{3} \cdots$$

Por lo tanto, podemos ver también en este caso que $\operatorname{Tr}\log (A) \leq \operatorname{Tr}(A-I)$ .

• Recordemos que una matriz compleja tiene un logaritmo si y sólo si es invertible. Cuando la matriz no tiene valores propios reales negativos, entonces hay un único logaritmo que tiene valores propios todos situados en la franja $\{z \in \mathbf{C} \mid-\pi<\operatorname{lm} z<\pi\}.$ Este logaritmo se conoce como logaritmo principal.

Mi pregunta es: ¿hasta qué punto podemos generalizar este resultado? Por ejemplo, ¿se cumple que para cualquier matriz $A$ con valores propios estrictamente positivos tenemos $\operatorname{Tr}\log (A) \leq \operatorname{Tr}(A-I)$ ? Si ayuda, podemos añadir el requisito de que $A$ es un producto de dos matrices definidas positivas.

Answer 1

La desigualdad se cumple cuando $A$ tiene un espectro real estrictamente positivo.

Prueba :

Supongamos primero que $A$ es diagonalizable.

1. Dejemos que $A=VDV^{-1}$ donde $D$ es diagonal y dejemos que $\lambda_i>0$ sean los valores propios de $A,D$ ( $i=1, \ldots, d$ ).
2. $$\begin{equation} \begin{split} \operatorname{Tr} \log A = \operatorname{Tr} \log (V D V^{-1}) = \operatorname{Tr}( V\log ( D )V^{-1}) = \operatorname{Tr} \log ( D ) = \sum_{i=1}^d \log \lambda _i \end{split} \end{equation}$$
3. Utilice la desigualdad $\log x \leq x -1:$ $$\begin{equation} \begin{split} \sum_{i=1}^d \log \lambda _i \leq \sum_{i=1}^d ( \lambda _i-1) = \sum_{i=1}^d \lambda _i-d = \operatorname{Tr}(A-I) \end{split} \end{equation}$$

A continuación, extienda el resultado a las matrices no diagonalizables mediante un argumento de densidad (ya que $\log$ es una función continua).