Un problema sobre la inversa del teorema de representación de Riesz

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio de producto interno. Para cualquier función lineal acotada $f$ en X, existe un único $x_f \in X$ s.t. para cualquier $x \in X$ , $f(x)=\langle x, x_f\rangle$ y $\|f\|=\|x_f\|$ . Demostrar que $X$ es un espacio de Hilbert.

Recuerda: es cierto que el teorema de representación de Riesz no se cumple para un espacio de producto interno incompleto, pero no podemos utilizarlo para resolver este problema porque son completamente diferentes.

Esta es mi idea:

Dejemos que $\{x_n\}$ sea una sucesión de Cauchy. Para una función dada $f$ por el hecho de que $|\langle x_n, x_f\rangle| \|x_f\|\|x_n\|$ tenemos $\{\langle x_n, x_f\rangle\}$ es una sucesión de Cauchy. Sin embargo, no podemos encontrar inmediatamente una $x$ s.t. $\{\langle x_n, x_f\rangle\} \rightarrow \{\langle x, x_f\rangle\}$ .

Cualquier sugerencia será bienvenida.

Answer 1

Para su secuencia de Cauchy $x_n$ considerarlos como funcionales lineales $f_{x_n}(x) := \langle x_n,x\rangle $ . El dual del espacio normado $X$ está completo Así que $f_{x_n}$ tienen un límite, $f\in X'$ . Por hipótesis, hay algún $x_f\in X$ tal que $f(x) = \langle x_f,x \rangle$ . Desde $f_{x_n} - f$ está representado por el elemento $x_n - x_f \in X$ También sabemos, por la hipótesis dada, que $$ \|x_n - x_f \|_X = \| f_{x_n} - f\|_{X'} \to 0.$$

Answer 2

Definir el funcional lineal $\newcommand{\ang}[1]{\left\langle{#1}\right\rangle}f : y\mapsto \lim_n \ang{y,x_n}$ (utilizando el hecho de que $\ang{y,x_n}$ es una sucesión de Cauchy, como se ha señalado). Entonces dejemos que $x_f$ sea tal que $f(y) = \ang{y,x_f}$ por la suposición. Entonces sólo tenemos que demostrar que $x_n \to x_f$ .

Ahora considere $x_n-x_f$ , $$\ang{x_n-x_f,y}=\lim_{m\to\infty} \ang{x_n-x_m,y}\le \lim_{m\to\infty} \|x_n-x_m\|\|y\|,$$ por lo que desde $x_n$ es Cauchy, $\ang{x_n-x_f,y}\to 0$ para cualquier $y$ En particular, para $x_n$ y $x_f$ . Por lo tanto, para un tamaño suficientemente grande $n$ , $$\|x_n-x_f\|^2 = \ang{x_n-x_f,x_n-x_f} \le |\ang{x_n-x_f,x_n}| + | \ang{x_n-x_f,x_f}|\le \epsilon$$ para cualquier $\epsilon>0$ . Por lo tanto, $x_n\to x_f$ como se desee.

Answer 3

Utilizando el supuesto se puede establecer un isomorfismo isométrico antilíneo entre $X^*$ y $X$ .

Definir $A : X \to X^*$ como $$Ax = f_x = \langle \cdot, x\rangle = v \mapsto \langle v, x\rangle$$

para todos $x \in X$ . La suposición nos da que $A$ es biyectiva.

$A$ es antilineal:

$$A(\alpha x + \beta y) = \langle \cdot, \alpha x + \beta y\rangle = \overline{\alpha} \langle \cdot, x\rangle + \overline{\beta}\langle \cdot, y\rangle = \overline{\alpha} Ax + \overline{\beta}Ay$$

Finalmente, $A$ es isométrico:

$$\|Ax\| = \|f_x\| = \|x\|$$

Ahora sólo hay que utilizar que los isomorfismos isométricos (lineales o antilineales) preservan la completitud:

$$\|f_{x_m} - f_{x_n}\| = \|Ax_m - Ax_n\| = \|A(x_m - x_n)\| = \|x_m - x_m\|$$

Así que una secuencia es Cauchy/convergente si y sólo si la otra también lo es.

Por lo tanto, ya que $X^*$ es siempre completa, concluimos que $X$ también está completo.