¿Qué representan realmente las tasas de cambio instantáneas?

Question

La derivada de $f(x)$ es el valor del límite de la tasa de variación media de $y$ con respecto a $x$ como el cambio en $x$ se acerca a $0$ . Este es el valor, en otras palabras, al que la tasa media de cambio se aproxima pero NUNCA llega.

Esto significa que NO es la tasa de cambio infintesimal de $y$ con respecto a $x$ ; $dy/dx$ simplemente se acerca al valor del derivado. Si el tipo de cambio alcanzara realmente $0$ cambio en $x$ , usted obtendría $0/0$ que es una forma indeterminada.

Así que si la derivada es la tasa de cambio literal en un instante exacto -- una tasa de cambio con un intervalo de $0$ ¿Qué te dice eso en realidad? ¿Puede un momento específico en el tiempo tener realmente una tasa de cambio? ¿Se mantiene alguna vez esa tasa de cambio, incluso en un instante concreto?

Sé que un punto por sí mismo no puede tener una tasa de cambio, se necesita un continuo de puntos a su alrededor para determinar una (de ahí un límite). ¿Qué te dice una tasa de cambio instantánea?

Answer 1

Desde luego, no es usted el único que se lo pregunta. Debo preguntar: ¿en qué sentido se refiere a la pregunta?

a) Si tu pregunta -- "¿puede un momento específico en el tiempo tener realmente una tasa de cambio?" -- está dirigida al mundo físico, y las palabras "tiempo" o "momento" deben tomarse como referidas a esas cosas de nuestra experiencia diaria, entonces te diría que no olvides lo que hacen las matemáticas: no constituyen el mundo real, sólo modelos lo.

Tal vez el espacio en el que vivimos sea en realidad discreto; es decir, si nos acercamos lo suficiente, nuestro mundo está hecho de "células" atómicas, como un mundo de Minecraft. Supongamos que cada célula es un cubo $1.6 \times 10^{-45}$ metros (diez órdenes de magnitud por debajo de la longitud de Planck) en un borde. No sabemos si esta hipótesis es cierta o no: ¿qué experimento la refutaría? Si fuera cierta, entonces algunas cosas sobre los números reales que aprendemos en matemáticas (por ejemplo, se basa la idea del límite, que para cualquier número que nombres, siempre puedo nombrar uno más pequeño*), serían "erróneas" para hablar de objetos en esa escala de tamaño.

Pero seguiría funcionando igual de bien, como aproximación, para cosas para las que actualmente utilizamos el cálculo, por ejemplo, para calcular hacia dónde apuntar nuestras naves espaciales. Las propias ecuaciones de los cohetes nunca se ajustarán a la situación exactamente (¿has tenido en cuenta esa partícula de polvo? y que uno?), los números que ponemos en ellos nunca van a ser medidos precisamente .

Un modelo no puede ser juzgado como correcto o incorrecto en sí mismo; sólo el aplicación de un modelo a un mundo real situación puede ser juzgado, y entonces sólo en grados - más apropiado o menos apropiado. Si la velocidad viene en trozos discretos, entonces puede que no haya ningún momento en el que la pelota de voleibol, cuyo arco se describe por $y = -x^2$ , siempre se está moviendo a $-4$ metros/segundo el cálculo predeciría en $x = 2$ . O tal vez la velocidad es continua, y existe ese momento.

No hay forma, ni siquiera en principio, de saberlo, así que nos quedamos con el modelo que tenemos y lo cambiamos sólo cuando predice el mundo real de forma incorrecta.

b) Pero siendo menos pretencioso, es útil tener varias formas de pensar sobre estas cosas (y no dejes que nadie, incluyéndome a mí, te convenza de que tienes que pensar sólo a su manera).

Como otros han dicho, la derivada de una función $f(x)$ es una función $f'(x)$ lo que nos da la pendiente de la recta tangente en $x$ . Si crees que puede haber una línea tangente en un solo punto, entonces puedes pensar en eso cuando otros dicen "tasa de cambio instantánea".

*Esta es la definición técnica de límite (extraída de Wikipedia ), por si sirve de ayuda. La declaración

$$ \lim_{x \rightarrow 0} f(x) = L $$

significa que puede hacer $f(x)$ tan cerca de $L$ como quieras haciendo $x$ lo suficientemente cerca de $0$ . Con variables, eso es:

Por cada $\epsilon > 0$ existe un $\delta > 0$ de manera que si $0 < |x| < \delta$ entonces $|f(x) - L| < \epsilon$ .

Usted puede ver cómo esto no funcionaría si hay fue un número real más pequeño -- entonces si elijo $\epsilon$ igual a ese número, ¿cómo vas a hacer $|f(x) - L|$ ¿más pequeño que él?

Answer 2

Dada una función $f$ que relaciona el tiempo $t$ en segundos a la posición $x$ (en metros) de un coche que se mueve a lo largo de una línea recta alejándose de algún punto relativo a la línea:

$$x=f(t)$$

Podemos encontrar la velocidad del coche entre el intervalo $x \in [2,10]$ utilizando la definición de velocidad:

$$v=\frac{\Delta distance}{\Delta time}=\frac{f(10)-f(2)}{10-2}$$

Pero supongamos que queremos encontrar la velocidad instantánea en $t=2$ . Seguramente el intervalo $x \in [2,2.11]$ será más representativa ya que la velocidad de nuestro coche no tiene tanto tiempo para alterar su velocidad a $t=2$ que en el intervalo $x \in [2,10]$ . Pero también podemos hacerlo mejor, podemos aumentar nuestra precisión acortando el intervalo de tiempo. Miramos el intervalo $x \in [2,2+h]$ y notamos que a medida que acortamos el intervalo el coche es menos propenso a acelerar .

Seguramente (a no ser que su coche sea muy poco terrenal) nuestro coche no puede cambiar significativamente la velocidad instantánea en cuestión de un $0.001$ segundo periodo de tiempo. Entonces nos damos cuenta de que podemos dejar $h$ acercarse tanto como $0$ como sea posible y al hacerlo, nos acercamos más al momento $t=2$ .

Ahora nos hemos dado cuenta de que si miramos el intervalo $x \in [t_0,t_0+h]$ y permitir $h \rightarrow 0$ nos acercamos a estudiar exactamente lo que ocurre en el momento $t=t_0$ . Y sabemos por la definición de velocidad que en este intervalo de tiempo nuestra velocidad será:

$$v=\frac{f(t_0+h)-f(t_0)}{t_0+h-t_0}$$

(Y puede darse cuenta de que aquí estamos calculando algún tipo de pendiente)

Al elegir $h$ cada vez más cerca del cero nos damos cuenta de que obtenemos una representación cada vez mejor de la velocidad instantánea en el momento $t=t_0$ . (también nos acercamos al cálculo de un tipo específico de pendiente: la pendiente de la línea tangente en $t_0$ ). Y cuando se trata de funciones que representamos en términos de álgebra, está en nuestra mano permitir $h$ para acercarse arbitrariamente a $0$ como queramos, obteniendo una respuesta tan arbitrariamente cercana a la velocidad instantánea real como queramos. Si podemos obtener una respuesta perfecta, eso depende de si se piensa o no:

Una respuesta arbitrariamente cercana (por ejemplo $99.99..9%$ por ciento de precisión) es perfecta.

Y creo que estarás de acuerdo en que hasta cierto punto lo anterior es cierto. Pero en el mundo real encontrar la función que predice exactamente $x$ en términos de $t$ es la parte difícil, casi siempre demasiado difícil que nos atenemos a los modelos, que no son más que aproximaciones.

Answer 3

La derivada $f^\prime(x)$ de una función $f(x)$ te da la pendiente de la recta tangente en cualquier punto $x_0$ donde ambos $f(x_0)$ y $f^\prime(x_0)$ se definen. Sea la función para la línea tangente en $x_0$ sea $g(x)$ . En un punto $x_1$ a una distancia suficientemente pequeña de $x_0$ la función $f(x_1)$ tiene casi el mismo valor que $g(x_1)$ . Por tanto, la tasa de cambio instantánea nos indica cómo se comportaría aproximadamente una función si la "acercamos" lo suficiente como para que parezca lineal.

Otra forma de entenderlo es imaginando la función $f(x)$ que representa el vector de posición de un coche. Si en un punto determinado $x_0$ el coche de repente tenía una aceleración constante igual a $0$ el coche continuaría moviéndose con una tasa de cambio igual a la derivada $f^\prime(x_0)$ .

Answer 4

En realidad, hay una cuestión oculta y más fundamental, a saber, la completitud de los números reales, que surge de forma más sencilla en el teorema del valor intermedio. En términos sencillos, este teorema dice que si dibujas una curva en un trozo de papel que comienza en la mitad superior y termina en la mitad inferior, entonces en algún punto del camino debes haber estado exactamente en la línea horizontal entre las dos mitades, si no levantaste el lápiz en todo momento. ¿Es esto cierto? Si dices que es obvio, digamos que reduciendo repetidamente a la mitad el intervalo de tiempo que contiene el punto de cruce, entonces de alguna manera ya aceptas la existencia física de límites de posición, en este caso el límite de los límites superior e inferior de estos intervalos decrecientes anidados.

Mejor aún, la propiedad de integridad implica que hay un primer punto de cruce. Podemos decir entonces que existe un punto exacto en el tiempo antes del cual nunca hemos alcanzado la línea media. Del mismo modo, la velocidad es el límite del cambio de posición sobre el cambio de tiempo, si es que existe. Si una partícula tiene una velocidad instantánea $v$ en el momento $t$ podemos trazar su posición con respecto al tiempo, y dado cualquier margen de error (positivo) $ε$ podemos encontrar algún tamaño de ventana (positivo) $δ$ tal que el gráfico posición-tiempo para el tiempo de $t-δ$ a $t+δ$ se encuentra estrictamente entre dos líneas con gradientes $v+ε$ y $v-ε$ respectivamente. Esto puede considerarse una barrera física que la partícula nunca podrá alcanzar. Aparte de eso, no hay ninguna entidad física concreta que corresponda a la velocidad instantánea.

Obsérvese que, dependiendo del modelo que adoptemos para el mundo real, lo anterior puede ser sólo parcial o incluso totalmente inaplicable. Si tomamos la relatividad de Einstein, entonces sí que hay que definir la velocidad como $\frac{dx}{dt}$ y verás que la velocidad no tiene por sí misma ningún significado directo, en contraste con la mecánica newtoniana donde el momento (medible) es $mv$ . Si llegamos a la mecánica cuántica, ya no tiene sentido hablar de que una partícula tenga una posición puntual, porque sencillamente no la tiene. La posición de cada partícula se describe con más precisión por su función de onda en su conjunto, que nunca es una distribución puntual, sino que se extiende por el espacio. Sigue existiendo la velocidad instantánea, no de un punto en sí, sino definida como la tasa de cambio instantánea de la posición media de su función de onda. Una analogía sería la superficie de un lago que cambia con el tiempo, donde la partícula corresponde a toda el agua del lago y, por tanto, la altura del agua corresponde a la densidad en ese punto. Es fácil entender que, aunque la posición media de las moléculas de agua cambia con el tiempo, no significa que todas las moléculas de agua se muevan en una dirección concreta.

Para los pedantes matemáticos

Sí, una curva que se puede dibujar en el papel según la mecánica clásica es sólo un tipo especial de curva continua. Aun así, sean cuales sean las restricciones que impongas, no es matemáticamente necesario que se cumpla el teorema del valor intermedio si no se trata de un espacio euclidiano.

Answer 5

Tenga en cuenta que $\frac {dy}{dx}$ no se acerca al límite, sino que es el límite. Las mediciones físicas en el mundo real suelen aproximarse al límite. El límite forma parte de un modelo ideal de la situación real.

Sucede que el límite representa una herramienta útil dentro de los modelos que tenemos del mundo físico, y que se comporta de forma útil dentro del modelo, lo que nos permite sacar conclusiones sobre los comportamientos de los sistemas que estudiamos.

Los matemáticos, por supuesto, también estudian estos modelos por sí mismos.