Variación de la presión en un tubo capilar

Question

La siguiente imagen muestra tubos capilares colocados en vasos de precipitados que contienen agua y mercurio:

Sabemos que la subida o bajada del nivel del líquido en un tubo capilar viene dada por La ley de Jurin :

$$h=\frac{2S\cos\theta}{r\rho g}$$

donde $h$ es la subida o bajada de altura según sea positiva o negativa, $S$ es la tensión superficial, $\theta$ es el ángulo de contacto del líquido en la pared del tubo, $r$ es el radio del tubo capilar, $\rho$ es la densidad de masa y $g$ es la aceleración local debida a la gravedad. El ángulo de contacto del agua con el vidrio es $0^\circ$ y es $140^\circ$ para el mercurio con el vidrio. Así que $\cos\theta$ El término es positivo para el agua y negativo para el mercurio, por lo que el agua sube y el mercurio baja en un tubo capilar.

Entendí el mecanismo por el cual el nivel sube o baja en un tubo capilar. Pero, cuando traté de encontrar la variación de la presión dentro del fluido en el tubo, me encontré con algunos problemas como se discute a continuación:

En la figura $(a)$ la presión en $A$ y $B$ es igual a la presión atmosférica $P_{atm}$ . Por la estática de los fluidos, sabemos que la presión en un nivel determinado es la misma y sólo difiere si hay alguna variación en la altura vertical. Por lo tanto, podemos decir que la presión dentro del tubo capilar en el nivel horizontal de $B$ también es $P_{atm}$ . De esto se desprende que la presión en ambos $A$ y el punto por debajo de él en el nivel horizontal de $B$ son iguales y es igual a $P_{atm}$ . Pero a partir de la estática de los fluidos debemos esperar que haya una diferencia de presión debido a la diferencia en la altura vertical dada por $\Delta P=\rho g \Delta h$ . ¿Por qué hay una incoherencia en los resultados obtenidos? Creo que ambos métodos son igualmente razonables.

El caso se vuelve aún más interesante en $(b)$ . Presiones en $A'$ y $B'$ son iguales a $P_{atm}$ . A partir de la estática de los fluidos, la presión en la profundidad $h'$ debe ser el mismo. Sabemos que la presión en $A'$ es $P_{atm}$ . Ahora bien, si concluimos que la presión en todos los puntos de este nivel es $P_{atm}$ vemos la presión en dos niveles verticales diferentes: uno en la superficie libre del vaso de precipitados y el otro a una profundidad $h'$ son iguales. Pero este resultado es contraintuitivo y creo que debe haber al menos alguna diferencia de presión. Al mismo tiempo, no creo que mi primer argumento sea incorrecto. Entonces, ¿por qué obtenemos resultados contradictorios?

En resumen, no entiendo cómo varía la presión en un fluido dentro del tubo capilar. Además, sería estupendo que me explicaras por qué obtenemos resultados contradictorios cuando aplicamos los resultados que conocemos de la estática de fluidos: la presión en el mismo nivel horizontal es la misma y la diferencia de presión debida a la diferencia de alturas verticales es $\Delta P=\rho g \Delta h$ ?

Imagen de cortesía: Mi propio trabajo :)

Answer 1

La diferencia de presión en ambos casos se debe a la tensión superficial del agua. Permítanme explicar.

Siempre que un fluido (digamos $F$ ) tiene una superficie que está expuesta a otro medio ( $M$ ), las partículas de la superficie experimentan fuerzas debidas a dos tipos de partículas, a saber, las partículas de $F$ ( fuerzas de cohesión ) y las partículas de $M$ ( fuerzas de adhesión ). Cuando las fuerzas de adhesión son más fuertes que las fuerzas de cohesión, entonces el fluido $F$ tiende a "pegarse" al medio $M$ (que es el caso del agua y el vidrio). Y siempre que las fuerzas de cohesión sean más fuertes que las de adhesión, entonces el fluido $F$ "no moja" el medio $M$ (que es el caso del mercurio y el vidrio).

Así, cuando el agua sube por el capilar, actúan las fuerzas de adhesión. Y cuando alcanza la altura final $\left(\frac{2S \cos\theta}{r\rho g}\right)$ forma una superficie cóncava. Y en este punto, está siendo empujada hacia arriba por las fuerzas de cohesión. Así que el agua en el tubo capilar está siendo presionada por la misma presión atmosférica que está presionando otras superficies de agua en el contenedor, pero el agua en el tubo capilar tiene fuerza de adhesión (que no está presente en ningún otro lugar) ejerciendo una fuerza hacia arriba en la columna de agua. Así que finalmente el agua en el tubo capilar requiere menos presión interna para equilibrar la presión de la atmósfera. De hecho, la presión interna en la superficie del agua en el tubo capilar es $P_{atm}-\rho g h$ , donde $h$ es la altura del agua en el capilar. Y esta presión es claramente inferior a la presión atmosférica( $P_{atm})$ . Así que hay una diferencia de presión de $\rho g h$ entre los puntos en el agua justo por debajo $A$ y $B$ .

Del mismo modo, en el caso del mercurio, las fuerzas de adhesión dominan y, por tanto, tiran de la columna de mercurio en dirección descendente. Así que esta vez, la presión interna en la superficie de la columna de mercurio tiene que equilibrar tanto la fuerza debida a la presión atmosférica como las fuerzas de adherencia, por lo que está obligada a ser mayor que $P_{atm}$ y de nuevo, la diferencia de presión( $\Delta P$ ) entre los puntos del líquido justo por debajo de $A'$ y $B'$ es (como era de esperar), $$\Delta P = \rho g h$$ donde $h$ es la profundidad de la gota capilar.

Para reflexionar:- Intenta relacionar la diferencia de presión entre los dos puntos siguientes $A$ y $B$ ) con el exceso de presión en una burbuja. Para ser precisos, iguala ambos. Acabarás descubriendo una derivación alternativa de la ley de Jurin.

PRECAUCIÓN:- ¡¡Cuidado!! No estoy diciendo que haya una diferencia de presión entre los puntos $A$ y $B$ o $A'$ y $B'$ . La presión en todos estos puntos es $P_{atm}$ . Pero la diferencia de presión es entre la superficie del líquido en la parte superior de la columna de agua en el capilar y la superficie del líquido en otro lugar.