Un verdadero $2 \times 2 $ matriz $M$ tal que $M^2 = \tiny \begin{pmatrix} -1&0 \\ 0&-1-\epsilon \\ \end{pmatrix}$ Entonces..:

Question

Un verdadero $2 \times 2 $ matriz $M$ tal que $$M^2 = \begin{pmatrix} -1&0 \\ 0&-1-\epsilon \\ \end{pmatrix}$$

(a) existe para todos $\epsilon > 0$ .

(b) no existe para ningún $\epsilon > 0$ .

(c) existe para algunos $\epsilon > 0$ .

(d) Ninguna de las anteriores es cierta.

Intento: No se me ocurre ninguna base teórica para demostrar/desmentir la existencia de dicha matriz.

¿Podría alguien darme una pista sobre cómo solucionar este problema?

Muchas gracias por su ayuda en este sentido.

Answer 1

(Supongo que $M$ se supone que es real; si se permite que sea complejo, entonces el ejercicio es trivial).

Sugerencia

1. ¿Cuáles son los posibles valores propios de $M$ ?
2. ¿Qué se puede decir de los valores propios de los reales $2 \times 2$ ¿matrices...?

Sugerencia continuada ...en particular, qué se puede decir de los valores propios de los reales $2 \times 2$ matrices cuando esos valores propios no son reales?

Answer 2

No importa si $\epsilon \neq 0$ es , no hay ninguna matriz real $M.$

para $\epsilon = 0, M = \pmatrix{0&b\\-\frac 1b&0}, b\neq 0$

elegir una matriz $$M = \pmatrix{a&b\\c&d}, M^2 =\pmatrix{a^2 + bc&(a+d)b\\(a+d)c&bc+d^2}=\pmatrix{-1&0\\0&-1-\epsilon} $$ tenemos las restricciones $$a^2 + bc = -1, bc+d^2 = -1-\epsilon \to a^2 - d^2 = \epsilon \tag 1$$

eso significa que si $\epsilon \neq 0,$ entonces $a+d \neq0\implies b = c = 0.$ de $(1), a^2 = -1, d^2 = -1 - \epsilon$ no hay soluciones reales como $a^2 = -1.$

si $\epsilon = 0, a^2 - d^2 = 0$ obliga a $a = -d, b = c = 0$ pero entonces (1) obliga a $d^2 = -1$ que no se puede satisfacer. el otro caso es $a = d.$ las restricciones son $$a^2 + bc = -1, 2ab = 0 = 2ac, bc + d^2 = -1 $$ dos opciones: (i) $a = 0$ da $bc = -1, d = 0$

(ii) $a \neq 0$ que da $b = 0, c = 0, a^2 = -1$ no es posible.

Answer 3

Dejemos que $M=\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)$. Then we want $M^2=\left(\begin{matrix}a^2+bc&b(a+d)\\c(a+d)&d^2+bc\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&0\\0&-1-\epsilon\end{matrix}\right)$ .

Ahora no podemos tener $b=0$ o $c=0$ ( ¿Por qué? ). Por lo tanto, $a=-d$ y $$M^2=\left(\begin{matrix}a^2+bc&0\\0&a^2+bc\end{matrix}\right)=(a^2+bc)I$$ ¿Entonces?

Answer 4

Supongamos que $v$ es un vector propio de $M$ con valor propio $\lambda$ . Entonces $v$ es el vector propio de $M^2$ con valor propio $\lambda^2\ge0$ . Desde $M^2$ sólo tiene valores propios negativos $-1$ y $-1-\epsilon$ , $M$ no tiene vectores propios. Por lo tanto, la matriz $A$ que mapea $e_1\mapsto e_1$ y $e_2\mapsto Me_1$ es invertible y como $M$ mapas $Me_1$ a $-e_1$ encontramos que $$M=A\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}A^{-1}$$ so that $$ M^2=A\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}^2A^{-1}=A\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}A^{-1}=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}.$$