Demostrar que cualquier polinomio de grado n que es ortogonal a ${1, x, ..., x^{n-1}}$ es un múltiplo constante de un polinomio de Legendre.

Question

Los polinomios de Legendre están definidos por $L_n(x) = \frac{d^n}{dx^{n}} (x^2 - 1)^n$ . El producto interior en este caso se define en $[-1, 1]$ de la siguiente manera: $\langle f(x), g(x)\rangle = \int_{-1}^{1} f(x)g(x)dx$ .

Denotaré el polinomio arbitrario de grado n por $P_n(x)$ . Como es ortogonal a $\{1, x, ..., x^{n-1}\}$ entonces es ortogonal a $g_{n-1}(x) = a_0 + a_1 x + ... + a_{n-1}x^{n-1}$ . Por lo tanto, $\langle P_n(x), g_{n-1}(x)\rangle = \int_{-1}^{1} P_n(x)g_{n-1}(x)dx = 0. $

Si amplío $g_{n-1}(x)$ Tengo $n$ integrales finitas, cuya suma es 0. ¿Pero cómo demuestro que esto implica $P_n(x) = k L_n(x)$ para alguna constante $k$ ? ¿Estoy adoptando el enfoque correcto?

Answer 1

Los polinomios de Legendre $L_0(x), \ldots, L_n(x)$ . forman una base para el espacio vectorial de polinomios de grado $\leq n$ . Por lo tanto, cualquier polinomio $p(x)$ de grado $n$ puede escribirse de forma única como una suma $p(x) = \sum_{k=0}^n a_k L_k(x)$ . Por su argumento, $p(x)$ es ortogonal a cada $L_i(x)$ para $i < n$ Así que $$0 = \int_0^1 L_i(x) p(x) \, dx = \int_0^1 L_i(x) \sum_{k=0}^na_kL_k(x)\, dx = a_i \int_0^1 L_i(x) L_i(x) \, dx$$ que da $a_i = 0$ . Así que $p(x) = a_n L_n(x)$ .

Edición: Para ver que los polinomios de Legendre forman una base del espacio vectorial de los polinomios, observe que $L_n(x)$ tiene grado $n$ . De hecho, cualquier secuencia de polinomios $p_n(x)$ para que $p_n(x)$ tiene grado $n$ formará una base. La razón es que la matriz de transición de la base estándar $x^n$ a la $p_n(x)$ es triangular inferior:

$$ \left(\begin{matrix} p_0(x)\\ p_1(x) \\ \vdots \\ p_n(x) \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix} a_{11} & 0 & \ldots & 0\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} &\ldots & a_{nn} \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 1\\ x \\ \vdots \\ x^n \end{matrix}\right) $$

Las entradas diagonales son distintas de cero por definición, ya que $p_k(x)$ tiene grado $k$ por lo que la matriz tiene determinante $a_{11} a_{22} \cdots a_{nn} \neq 0$ y es no singular.