Espaciotiempo curvo negativo

Question

Dada una métrica de la forma $$ ds^2=c^2dt^2-a^2\left[d\chi^2+\frac{\sinh^2(\sqrt{-k}\chi)}{-k}d\Omega^2\right] $$ Donde $d\Omega=d\theta^2+\sin^2(\theta)d\phi^2$ , $k<0$ y $a=a(t)$ .

Me encontré con la siguiente pregunta: Demostrar que la parte espacial del tensor métrico se puede escribir como un hiperboloide de 3 dimensiones hiperboloide incrustado en un espacio de Minkowski de 3+1 dimensiones.

Ahora no tengo ni idea de por dónde empezar. Sospecho que tendría que encontrar un mapa de $(\chi,\theta,\phi) \mapsto (x_1,x_2,x_3,x_4)$ tal que $x_1^2+x_2^2+x_3^2-x_4^2=-1$ pero no sabría decir qué es, ni cómo obtener la ecuación. Una pista o la solución sería muy apreciada.

Answer 1

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Supongamos que la métrica ambiental en el $(3+1)$ -espacio de Minkowski $\mathbb{M}$ viene dada por $$ g = -dy_4 ^2 + dr^2 + r^2 d \Omega ^2 .$$ Esto sólo significa que hemos elegido coordenadas esféricas para la parte espacial. Queremos encontrar un submanifold $\mathbb{H} \subset \mathbb{M}$ que es un hiperboloide, tal que la métrica inducida $\iota^* g$ en $\mathbb{H}$ es equivalente a la de su pregunta. Para ello, considere $$ \mathbb{H} = \{y \in \mathbb{M} \quad | \quad y_4 ^2 - r^2 = \frac{1}{k} \}$$ donde $r^2 = y_1 ^2 + y_2 ^2 + y_3 ^2$ . Es fácil comprobar que este submanifold está parametrizado por $y_4 = \frac{\cosh(\sqrt{-k}\chi)}{\sqrt{-k}}$ ; $r =\frac{\sinh(\sqrt{-k}\chi)}{\sqrt{-k}} $ . También puede comprobar que en términos de la nueva coordenada $\chi$ se sostiene que $-dy_4 ^2 + dr^2 = d\chi^2$ . La métrica inducida en $\mathbb{H}$ en términos de las coordenadas $\chi , \Omega$ viene dada, por tanto, por $$ d\chi^2 + r^2 d \Omega^2 = d\chi^2 + \frac{\sinh^2(\sqrt{-k}\chi)}{-k}d\Omega^2. $$