encontrar el valor de $a\in\Bbb{Z}$ tal que $2+\sqrt{3}$ es una raíz del polinomio?

Question

Encuentre el valor de $a\in\Bbb{Z}$ tal que $2+\sqrt{3}$ es una raíz del polinomio

$$x^3-5x^2 +ax -1$$ Tengo la respuesta y el valor de $a = -10 -5\sqrt{3} -1$ .

¿Es mi respuesta correcta o no?

Answer 1

Si $2+\sqrt3$ es una raíz, entonces también lo es $2-\sqrt3$

Si $x$ es la tercera raíz, entonces por el teorema de Vieta tenemos:

$$(2+\sqrt3)*(2-\sqrt3)*x=1$$ como $1$ es el coeficiente libre

Por lo tanto, $x=1$

Entonces, por el teorema de Vieta:

$$a=(2+\sqrt3)*1+(2-\sqrt3)*1+(2+\sqrt3)*(2-\sqrt3)=5$$

Answer 2

Si $a \in \mathbb Z$ , entonces si $2+\sqrt3$ es una raíz, entonces también lo es $2-\sqrt3$ .

Por lo tanto, $x^3-5x^2 +ax -1$ es divisible por $x^2 - 4 x + 1$ que tiene $2\pm\sqrt3$ como raíces.

Ahora, $x^3-5x^2 +ax -1 = (x^2 - 4 x + 1)(x-1)+(a-5)x$ y así $a=5$ .

Answer 3

Necesitamos $$(2+\sqrt3)^3-5(2+\sqrt3)^2+a(2+\sqrt3)-1=0,$$ que da $$a=2-\sqrt3-(2+\sqrt3)^2+5(2+\sqrt3)=5$$