radio de convergencia de la integral de la serie de potencias

Question

Supongamos que $\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ tiene un radio de convergencia R. ¿Cuál es el radio de convergencia de $\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{a_n x^{n+1}}{n+1}$ ?

¿Cómo puedo resolver esto sin usar la integración de series de potencia?

Answer 1

Dado $R=\lim\limits_{n\to\infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n-1}}{a_{n}}\right|$

Además, deja que $$\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{a_n x^{n+1}}{n+1}=\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n-1} x^{n}}{n}=\sum \limits_{n=1}^{\infty} b_{n} x^{n}$$

donde $b_n=\frac{a_{n-1}}{n}$

$R_1=\lim\limits_{n\to\infty} \left|\frac{b_n}{b_{n+1}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n-1}}{n}\times\frac{n+1}{a_{n}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty} \left|\frac{n+1}{n}\right|\times \lim\limits_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n-1}}{a_{n}}\right|$ . Ya sabes a dónde ir desde aquí.