Ejemplo de cociente no completo de lcs completos mod subespacio cerrado

Question

La siguiente afirmación es bien conocida: para un espacio de Fréchet $V$ y un subespacio cerrado $W \subseteq V$ el cociente $V / W$ es de nuevo completo y, por tanto, un espacio de Fréchet. Para el caso particular de un espacio de Banach es válida la misma afirmación.

Más allá del caso metrizable esto ya no es correcto. Así que mi primera pregunta es sobre un buen contraejemplo, es decir, un espacio completo localmente convexo $V$ con un subespacio cerrado $W$ tal que $V / W$ ya no está completa.

Mi segunda pregunta es si surgen necesariamente contraejemplos más allá del caso metrizable, es decir, ¿tiene todo lcs completo un subespacio cerrado con un cociente no completo? En otras palabras, ¿la propiedad del cociente anterior caracteriza a los espacios de Fréchet?

Mi tercera pregunta es cómo es la situación para lcs secuencialmente completos con subespacio secuencialmente cerrado. ¿Hay algún resultado/situación positiva en la que el cociente sea al menos secuencialmente completo de nuevo?

Muchas gracias.

Answer 1

Me gustaría añadir el siguiente caso importante (que generaliza la respuesta de Bill Johnson): Un espacio LS se define como un límite inductivo contable de los espacios de Banach $X_n\hookrightarrow X_{n+1}$ con inclusiones compactas (a veces también llamados espacios Silva o espacios DFS porque son precisamente los duales fuertes o espacios Frechet-Schwartz). De los resultados de J. SEBASTIAO E SILVA de 1955 se desprende que los espacios LS son completos y los cocientes por subespacios cerrados son de nuevo LS (y en adelante completos).

Un ejemplo bonito y bastante típico de un espacio LS es el espacio de gérmenes de funciones analíticas sobre un conjunto compacto. Otro ejemplo importante es el espacio $\mathscr E'(\Omega)$ de distribuciones con soporte compacto.

Answer 2

Se puede encontrar un contraejemplo para la primera y la tercera pregunta en Contraejemplos en espacios vectoriales topológicos por Khaleelulla (p. 108).

Dejemos que $W$ denotan el espacio de todos los $\mathbb C$ -secuencias valoradas $(x_n)$ y $\Phi$ el espacio de las secuencias finitas. Sea $E=E_1\oplus E_2$ donde $E_1$ es la suma directa contable topológica de copias de $W$ y $E_2$ es el producto topológico contable de copias de $\Phi$ . $E$ es un espacio completo localmente convexo pero el cociente $E/M$ donde $M=\{(u,u):\ u\in E_1\cap E_2 \}$ ni siquiera es secuencialmente completa.

Answer 3

Para la segunda pregunta, considere la suma directa $Z$ de infinitas copias del campo escalar. Dado cualquier subespacio $X$ cualquier complemento algebraico $Y$ al subespacio es también un complemento topológico de $X$ por lo que el cociente $Z/X$ es linealmente homeomorfo a $Y$ que es de nuevo una suma directa de copias del campo escalar.

Answer 4

Otra respuesta más: ¡Cualquier espacio vectorial topológico incompleto de Hausdorff (localmente convexo) es un contraejemplo! Se debe a la difunta Susanne Dierolf que demostró (Manuscripta Math., 17(1):73-77, 1975) que todo espacio vectorial topológico es un cociente de uno completo.