Una simple pregunta sobre la densidad en el intervalo $[0.1,1)$

Question

Teorema : Dejemos que $\mathbb{P}$ sea el conjunto de números primos y $S$ es un conjunto que se ha realizado como se indica a continuación: poner un punto al principio de cada miembro de $\Bbb{P}$ como $0.2$ o $0.19$ entonces $S=\{0.2,0.3,0.5,0.7,...\}$ es denso en el intervalo $(0.1,1)$ de los números reales.

Ahora quiero preguntar si la siguiente conjetura es cierta.

Conjetura: Para cada subintervalo de $[0.1,1)$ como $(a,b)$ entonces $\exists m\in \Bbb N$ que $\forall k\in \Bbb N$ con $k\ge m$ entonces $\exists t\in (a,b)$ tal que $t\cdot 10^k\in \Bbb P$ .

Se lo agradezco de antemano.

Answer 1

Puede utilizar simplemente el Teorema que usted declaró, junto con algunas nociones básicas de análisis real como las siguientes:

Desde $S$ es denso en $(0.1,1)$ entonces es denso en cada subintervalo $(a,b)$ .

Así que por cada $ε>0$ y $x \in (a,b)$ hay un $t \in S$ tal que $|t-x| <ε$ .

También hay un (suficientemente grande) $m \in N$ tal que $|b-a| > \frac{1}{10^m}$ . Que este $m$ sea el ínfimo de todos los m que se cumplen.

Ahora dejemos que $ε= \frac{1}{10^m}$ con $m\in N$ y $x$ sea un número con infinitas cifras $x=0.d_1 d_2 ... d_n... d_m ...$ en $(a,b)$ . Entonces un $t=0.p_1 p_2 ... p_n$ existirá con $$|0.p_1 p_2 ... p_n-0.d_1 d_2 ... d_n ... d_m ...| <1/10^m$$

Por lo tanto, $t$ debe tener AL MENOS $m$ dígitos, de lo contrario la desigualdad no se puede mantener. Obsérvese que esta $t$ siempre existirá, debido a $S$ siendo denso en $(a,b)$ . Así que hay un $t$ con $k$ dígitos, $k \ge m$ . Por lo tanto, $t \times 10^k$ es un primo.

EDITAR :Lo sabemos por lo menos por una $k$ Sin embargo, no todos ellos. Necesitamos algo que nos dé otro límite inferior para $m$ , tal que para números mayores que $m$ hay un primo con $k \ge m$ dígitos, $\forall k$ . Reducimos la conjetura a la afirmación anterior.

Answer 2

Sin pérdida de generalidad (al pasar a un subintervalo menor) podemos suponer que $(a, b) = \left( \frac{s}{10^r}, \frac{t}{10^r} \right)$ , donde $s, t, r$ son enteros positivos y $s < t$ . Sea $\alpha = \frac{t}{s}$ .

La afirmación equivale ahora a decir que hay $m \in \mathbb{N}$ tal que para cada $k \geqslant m$ hay un primo $p$ con $10^{k-r} \cdot s < p < 10^{k-r} \cdot t$ .

Demostraremos una afirmación más fuerte: hay $m \in \mathbb{N}$ tal que para cada $n \geqslant m$ hay un primo $p$ tal que $n < p < \alpha \cdot n$ . Al tomar un poco más pequeño $\alpha$ podemos relajar la restricción a $n < p \leqslant \alpha \cdot n$ .

Ahora viene el teorema de los números primos:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{\pi(n)}{\frac{n}{\log n}} = 1$$

donde $\pi(n) = \# \{ p \leqslant n : p \text{ is prime} \}.$ Por lo anterior tenemos

$$\frac{\pi(\alpha n)}{\pi(n)} \sim \frac{\frac{\alpha n}{\log(\alpha n)}}{\frac{n}{\log(n)}} = \alpha \cdot \frac{\log n}{\log(\alpha n)} \xrightarrow{n \to \infty} \alpha$$

por lo que $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\pi(\alpha n)}{\pi(n)} = \alpha$ . Así que hay $m \in \mathbb{N}$ tal que $\pi(\alpha n) > \pi(n)$ siempre que $n \geqslant m$ , lo que significa que hay un primo $p$ tal que $n < p \leqslant \alpha \cdot n$ Y eso es lo que queríamos.

Answer 3

Para cada $n\in \mathbf{N}$ , dejemos que $r(n)$ sea el verdadero $0.n$ en su representación decimal. Demostramos que $r(\mathbf{P})$ es denso en $[1/10,1]$ .

En otras palabras, tenemos que demostrar que existe un primo $p$ tal que $a<r(p)<b$ . Para ello, escriba $$ a=0.d_1 d_2 d_3 \ldots \,\,\text{ and }\,\,b=0.e_1 e_2 e_3 \ldots $$ en su representación decimal, con $d_i,e_i \in \{0,1,\ldots,9\}$ para cada $i$ (si $b=1$ y luego establecer $e_1=e_2=\cdots=9$ ). En este punto, dejemos que $j$ sea el mayor número entero tal que $d_1=e_1$ , $d_2=e_2$ , $\ldots$ , $d_j=e_j$ . Entonces $e_{j+1}>d_j$ de modo que, en particular, todos los reales que comienzan en su representación decimal con $$ 0.d_1 d_2 d_3 \ldots d_{j+1} $$ también pertenecen a $(a,b)$ . Este tipo de reales son de la forma $r(n)$ si y sólo si $n$ comienza con su representación decimal con $n$ . Esto significa que tenemos que demostrar que, para cada $k \in \mathbf{N}$ existe un primo que empieza por $k$ en su representación decimal. Gracias a una variante del postulado de Bertrand, los intervalos $[n,\left(1+\frac{1}{k}\right)n]$ contiene al menos un primo siempre que $n$ es lo suficientemente grande. Por último, se establece $n=k\cdot 10^m$ con $m$ suficientemente grande. Por lo tanto, para cada tamaño suficientemente grande $m$ existe un primo $p$ tal que $ k\cdot 10^m \le p < (k+1)\cdot 10^m, $ lo que implica que $ r(p) \in (a,b). $