Una simple pregunta sobre densidad en el intervalo $[0.1,1)$

Question

Teorema: Sea $\mathbb{P}$ el conjunto de números primos y $S$ es un conjunto que se ha construido de la siguiente manera: poner un punto al inicio de cada miembro de $\Bbb{P}$ como $0.2$ o $0.19$ entonces $S=\{0.2,0.3,0.5,0.7,...\}$ es denso en el intervalo $(0.1,1)$ de los números reales.

Ahora quiero preguntar si la siguiente conjetura es cierta:

Conjetura: Para cada subintervalo de $[0.1,1)$ como $(a,b)$ entonces $\exists m\in \Bbb N$ tal que $\forall k\in \Bbb N$ con $k\ge m$ entonces $\exists t\in (a,b)$ tal que $t\cdot 10^k\in \Bbb P$.

Les agradezco de antemano.

Answer 1

Simplemente puedes usar el Teorema que has mencionado, junto con algunas nociones básicas de análisis real como sigue:

Dado que $S$ es denso en $(0.1,1)$ entonces es denso en cualquier subintervalo $(a,b)$.

Entonces para cada $ε>0$ y $x \in (a,b)$, hay un $t \in S$ tal que $|t-x| <ε$.

También hay un (suficientemente grande) $m \in N$ tal que $|b-a| > \frac{1}{10^m}$. Sea este $m$ el ínfimo de todos los m's para los cuales esto se cumple.

Ahora tomemos $ε= \frac{1}{10^m}$ con $m\in N$ y $x$ sea un número con infinitos dígitos $x=0.d_1 d_2 ... d_n... d_m ...$ en $(a,b)$. Entonces existirá un $t=0.p_1 p_2 ... p_n$ tal que $$|0.p_1 p_2 ... p_n-0.d_1 d_2 ... d_n ... d_m ...| <1/10^m$$

Por lo tanto, $t$ debe tener AL MENOS $m$ dígitos, de lo contrario la desigualdad no se cumpliría. Toma en cuenta que este $t$ siempre existirá, debido a que $S$ es denso en $(a,b)$. Así que hay un $t$ con $k$ dígitos, $k \ge m$. Por lo tanto, $t \times 10^k$ es un número primo.

EDITAR: Sabemos esto para al menos un $k$, no para todos. Necesitamos algo que nos dé otro límite inferior para $m$, de tal manera que para números mayores que $m$ haya un número primo con $k \ge m$ dígitos, $\forall k$. Hemos reducido la conjetura a la afirmación anterior.

Answer 2

Sin pérdida de generalidad (al pasar a un subintervalo más pequeño) podemos asumir que $(a, b) = \left( \frac{s}{10^r}, \frac{t}{10^r} \right)$, donde $s, t, r$ son enteros positivos y $s < t$. Sea $\alpha = \frac{t}{s}.

La afirmación ahora es equivalente a decir que existe $m \in \mathbb{N}$ tal que para todo $k \geq m$ hay un número primo $p$ tal que $10^{k-r} \cdot s < p < 10^{k-r} \cdot t$.

Vamos a demostrar una afirmación más fuerte: existe $m \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n \geq m$ hay un número primo $p$ tal que $n < p < \alpha \cdot n$. Al tomar un $\alpha$ ligeramente más pequeño, podemos relajar la restricción a $n < p \leq \alpha \cdot n$.

Ahora viene el teorema de los números primos:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{\pi(n)}{\frac{n}{\log n}} = 1$$

donde $\pi(n) = \# \{ p \leq n : p \text{ es primo} \}$. Por lo anterior tenemos

$$\frac{\pi(\alpha n)}{\pi(n)} \sim \frac{\frac{\alpha n}{\log(\alpha n)}}{\frac{n}{\log(n)}} = \alpha \cdot \frac{\log n}{\log(\alpha n)} \xrightarrow{n \to \infty} \alpha$$

por lo tanto $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\pi(\alpha n)}{\pi(n)} = \alpha$. Entonces existe $m \in \mathbb{N}$ tal que $\pi(\alpha n) > \pi(n)$ siempre que $n \geq m$, lo que significa que hay un número primo $p$ tal que $n < p \leq \alpha \cdot n$, y eso es lo que queríamos.

Answer 3

Para cada $n\in \mathbf{N}$, sea $r(n)$ el real $0.n$ en su representación decimal. Demostramos que $r(\mathbf{P})$ es denso en $[1/10,1]$.

En otras palabras, tenemos que demostrar que existe un primo $p$ tal que $ad_j$ de modo que, en particular, todos los reales que comienzan en su representación decimal con $$ 0.d_1 d_2 d_3 \ldots d_{j+1} $$ pertenecen también a $(a,b)$. Este tipo de reales son de la forma $r(n)$ si y solo si $n$ comienza con su representación decimal con $n$. Esto significa que tenemos que demostrar que, para cada $k \in \mathbf{N}$, existe un primo que comienza con $k$ en su representación decimal. Gracias a una variante del postulado de Bertrand, los intervalos $[n,\left(1+\frac{1}{k}\right)n]$ contienen al menos un primo cuando $n$ es suficientemente grande. Finalmente, se elige $n=k\cdot 10^m$, con $m$ suficientemente grande. Entonces, para cada $m$ suficientemente grande, existe un primo $p$ tal que $ k\cdot 10^m \le p < (k+1)\cdot 10^m, $ lo que implica que $ r(p) \in (a,b). $