Cómo evaluar $\int_{1-\sqrt{1-t^2}}^{1+\sqrt{1-t^2}}(y^2-2y+t^2)dy$ donde t es constante

Question

Necesito evaluar la siguiente. No puedo entender el método en mi libro de texto.

$$\int_{1-\sqrt{1-t^2}}^{1+\sqrt{1-t^2}}(y^2-2y+t^2)dy$$

Mi libro de texto es dejar que $\alpha=1-\sqrt{1-t^2}$ , $\beta=1+\sqrt{1-t^2}$ por lo que se convierte en

$$\int_\alpha^\beta\color{blue}{(y-\alpha)(y-\beta)}dy\color{red}{=\frac16(\alpha-\beta)^3}$$

Y a partir de aquí se puede resolver con normalidad.

¿Cómo puedo tener la idea de convertirla en "la parte azul"? Y ¿hay una fórmula que pueda hacer "la parte roja"?

Answer 1

El autor estableció los límites para que \begin{align*} \alpha + \beta & = 1 - \sqrt{1 - t^2} + 1 + \sqrt{1 - t^2}\\ & = 2\\ \alpha\beta & = (1 - \sqrt{1 - t^2})(1 + \sqrt{1 - t^2})\\ & = 1 - (1 - t^2)\\ & = t^2 \end{align*} Por lo tanto, \begin{align*} (y - \alpha)(y - \beta) & = y^2 - (\alpha + \beta)y + \alpha\beta\\ & = y^2 - 2y + t^2 \end{align*} y evaluando la integral definida se obtiene \begin{align*} \int_\alpha^\beta (y - \alpha)(y - \beta)~dy & = \int_\alpha^\beta [y^2 - (\alpha + \beta)y + \alpha\beta]~dy\\ & = \left[\frac{1}{3}y^3 - \frac{1}{2}(\alpha + \beta)y^2 + \alpha\beta y\right]\bigg|_\alpha^\beta\\ & = \frac{1}{6}\left[2y^3 - 3(\alpha + \beta)y^2 + 6\alpha\beta y\right]\bigg|_\alpha^\beta\\ & = \frac{1}{6}\left[2\beta^3 - 3(\alpha + \beta)\beta^2 + 6\alpha\beta^2 - (2\alpha^3 - 3(\alpha + \beta)\alpha^2 + 6\alpha^2\beta)\right]\\ & = \frac{1}{6}\left[2\beta^3 - 3\alpha\beta^2 - 3\beta^3 + 6\alpha\beta^2 - 2\alpha^3 + 3\alpha^3 + 3\alpha^2\beta - 6\alpha^2\beta\right]\\ & = \frac{1}{6}(-\beta^3 + 3\alpha\beta^2 - 3\alpha^2\beta + \alpha^3)\\ & = \frac{1}{6}(\alpha - \beta)^3 \end{align*}

Answer 2

$(y-\alpha )(y-\beta)=y^2-y \alpha -y \beta + \alpha\beta. $

Ahora introduzca las definiciones de $\alpha $ y $\beta $ .