Estoy tratando de resolver este problema, tomé la base $B=\langle(2,7)^T, (1,3)^T\rangle$ y luego construir la matriz de $f$ aplicación en $B$ : $$ M_b(f)=\left(\begin{array}{cc} 7&4\\5&1 \end{array}\right). $$ He pensado que ahora puedo conseguir $f(3,5)$ Sólo digo que $f: x\rightarrow M_b(f) x$ pero me equivoco porque mi respuesta no es la correcta. ¿Podría explicarme en qué me equivoco?
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Sourav Ghosh
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Supongo que $f:\Bbb{R^2}\to \Bbb{R^2}$ sea un mapa lineal.
Dado $f(2, 7) =(7, 5) $ y $f(1, 3) =(4, 1) $
Para encontrar $f(3, 5) $ primero tenemos que escribir $(3, 5) $ como una combinación lineal de $(2, 7) $ y $(1, 3)$ .
$\begin{bmatrix}2 & 4 \\ 7 & 1 \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c_1 \\ c_2\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3 \\ 5\\\end{bmatrix}$
Resolviendo la ecuación anterior, obtenemos $c_1={-4}$ , $c_2=11$
Por lo tanto, $(3, 5)={-4}(2, 7) +11(1, 3) $
Ahora, \begin{align}f(3, 5)&={-4}\space f\space (2, 7) +11 \space f\space (1, 3) \\&= {-4}(7, 5) +11(4, 1) \\ &=(16,-9)\end{align}
Si $f$ es un mapa lineal, lo cual asumo que es el caso, entonces puedes (como intentaste) expresar el mapa lineal en términos de una matriz. El "error" que cometiste es que escribiste las imágenes de la base $B$ como columnas para que su matriz sea la representación matricial con respecto a las bases $B$ y $((1,0),(0,1))$ lo que significa que anotaste las imágenes de $B$ en términos de la base estándar. Si se quiere seguir trabajando con esa matriz hay que añadir un cambio de base para poder utilizarla $f(x) = M_b(f)x$ porque estás poniendo el vector $(3,5)$ en términos de la base estándar y no en términos de $B$ . Hay que multiplicar por la derecha la matriz de cambio de base de la base estándar a $B$ . Esto significa que tenemos que multiplicar por la matriz $A$ que tiene las columnas que describen la base estándar en términos de $B$ Así que..: $$(1,0) = a(2,7) + b(1,3) \Rightarrow a=-3, b=7$$ por lo que la primera columna de la matriz $A$ es $(-3,7)^T$ . Para el segundo vector $$(0,1) = a(2,7)+b(1,3) \Rightarrow b=-2,a=1$$ Eso nos da $$A= \begin{pmatrix}-3&1\\7&-2 \end{pmatrix}$$ y para la matriz $M_b(f)A$ es cierto que $$f(x)= M_b(f)Ax=\begin{pmatrix}7&-1\\-8&3 \end{pmatrix}x$$ y por lo tanto $f(3,5)=(16,-9)^T$
Un poco de antecedentes: Si quieres describir un mapa lineal con una matriz siempre hay dos bases implicadas: Una "base de entrada" y una "base de salida". El $i$ -La columna número 1 de la matriz tiene entradas que son las coordenadas de la imagen del $i$ -ésimo vector de la "base de entrada" con respecto a la "base de salida". Así, si $(v_1, \dots, v_n)$ es la base de entrada y $(w_1, \dots, w_m)$ es la base de salida y la representación de $f(v_i)$ en la base de salida se lee $$f(v_i) = a_1w_1 + \dots + a_mw_m$$ con algunos números $a_j$ , $j=1, \dots, m$ entonces el $i$ -La columna número 1 de la matriz es precisamente $(a_1, \dots, a_m)^T$ . Si quiere evaluar $f(x)$ multiplicando $x$ con una matriz debes asegurarte de que la matriz y el vector están dados con respecto a la misma base. Así que si quieres encontrar $f(3,5)$ entonces el vector $(3,5)$ se da implícitamente como coordenadas en la base estándar (porque $(3,5) = 3 \cdot (1,0) + 5 \cdot (0,1)$ ) y por lo tanto su matriz necesita tener la base estándar como base de entrada (lo que no era el caso al principio). Por lo tanto, multiplicamos la matriz que describe la transformación de identidad con la base estándar como base de entrada y la base $B$ como base de salida.
