Estoy utilizando Cálculo I de Apostol como libro de introducción a la asignatura y estoy atascado tratando de entender la demostración del Teorema 1.13 (página 79) que, según tengo entendido, proporciona una forma de calcular el valor de una integral. Así que creo que es importante.
En primer lugar, se deduce del Teorema 1.12 (que establece que toda función monótona sobre $[a,b]$ es integrable en $[a,b]$ ) que
$$\int_a^b t_n - \int_a^b s_n = \frac{(b-a)[f(b)- f(a)]}{n} = \frac{C}{n}\qquad \text{for every}\ n \geq 1\qquad (1)$$
Teorema 1.13:
Supongamos que $f$ es creciente en un intervalo cerrado $[a, b]$ . Sea $x_k = a + k(b - a)/n$ , para $k=0, 1,. . . , n$ . Si $I$ es cualquier número que satisface las desigualdades
$$\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f(x_k) \leq I \leq \frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}f(x_k)\qquad (2) $$
por cada $n \geq 1$ entonces $I = \int\limits_a^bf(x)dx$ .
Prueba:
Dejemos que $s_n$ y $t_n$ sean las funciones escalonadas especiales de aproximación obtenidas por subdivisión del intervalo $[a,b]$ en $n$ partes iguales, como se describe en la prueba del Teorema 1.12. Entonces las desigualdades $(2)$ afirmar que
$$\int_a^bs_n \leq I \leq \int_a^b t_n $$
por cada $n \geq 1$ . Pero la integral $\int\limits_a^bf(x)dx$ satisface las mismas desigualdades que $I$ . Utilizando la ecuación $(1)$ vemos que
$$0 \leq \left|I - \int_a^bf(x)dx\right| \leq \frac{C}{n}$$
por cada $n \geq 1$ . Por lo tanto, por el Teorema 1.31, tenemos $I = \int\limits_a^bf(x)dx$ como se afirma.
Acabar con el último conjunto de desigualdades es lo que no he podido entender. Tengo claro que la integral de $f(x)$ satisface las mismas restricciones de $I$ pero me confundo en conseguir $I - \int\limits_a^bf(x)dx$ allí.
La única explicación que me di a mí mismo es que si resteo la expresión más a la izquierda en $(2)$ del conjunto de inecuaciones y aplicar la propiedad telescópica a lo que obtengo en el extremo derecho obtengo
$$0 \leq I-\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f(x_k) \leq \frac{C}{n}$$
Entonces, si asumo $\frac{b-a}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}f(x_k) = \int\limits_a^bf(x)dx$ es decir, la integral de $s_n$ igual a la de $f$ Obtengo casi el mismo conjunto de desigualdades que en la última parte de la prueba. Pero como prueba, no parece ser un paso convincente.
