Mostrar que $A_n=\sum\limits_{k=1}^n \sin k $ es limitada?

Question

Deje $A_n=\sum\limits_{k=1}^n \sin k $ , muestran que no existe $M>0$ , $|A_n|<M $ para cada $n$ .

Answer 1

Tenga en cuenta que $$2(\sin k)(\sin(0.5))=\cos(k-0.5)-\cos(k+0.5).$$ Esto se obtiene mediante la expresión ordinaria para el coseno de una suma.

Agregar, $k=1$$n$. A la derecha, no es la masa de la cancelación. Tenemos $$\cos(0.5)-\cos(n+0.5).$$ Por lo tanto nuestra suma de los senos es $$\frac{\cos(0.5)-\cos(n+0.5)}{2\sin(0.5)}.$$ Ahora podemos obtener la deseada obligado para $|A_n|$. Por ejemplo, $2$ obras, pero no por mucho.

Podríamos modificar la apariencia de la fórmula anterior utilizando el hecho de que $\cos(0.5)-\cos(n+0.5)=2\sin(n/2)\sin(n/2+0.5)$.

Generalización: La misma idea se puede utilizar para encontrar una forma cerrada para $$\sum_{k=0}^{n-1} \sin(\alpha +k\delta).$$ Las sumas de los cosenos puede ser manejado en una manera similar.

Comentario: Esta respuesta fue escrito porque el OP, en un comentario, le pidió una solución que sólo utiliza las funciones reales. Sin embargo, sumando las exponenciales complejas, como en la solución de @Eric Naslund, es la forma correcta de manejar el problema.

Answer 2

Sugerencia: Desde $$\sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$$ we can rewrite $$\sum_{n=1}^{K} \sin n = \frac {1}{2i}\sum_{n=1}^K (e^i)^n-\frac {1}{2i}\sum_{n=1}^K (e^{-i})^n$$ y ambas son series geométricas.

Answer 3

Una fórmula más general sería:

$$A_n=\sum_{k=1}^{n} \sin k\theta = \frac{\sin\theta+\sin n\theta-\sin(n+1)\theta}{2(1-\cos\theta)}$$ Por lo $A_n$ es claramente delimitado (simplemente marque el caso de que $\theta=1$).

La fórmula puede ser demostrado por inducción usando la identidad trigonométrica: $\sin\alpha+\sin\beta=2\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})$.