¿Qué es un elemento libre de un matroide?

Question

A menudo he leído el término elemento libre de un matroidismo dado $M$ . Sin embargo, no he podido encontrar una definición adecuada de lo que es un elemento libre. Sé lo que es el matroide libre, pero los elementos libres parecen ser otra cosa. Primero pensé que los elementos libres son coloops. Sin embargo, he leído frases como "entonces $e$ debe ser un coloop o un elemento libre de $M$ ", lo que sugiere que los coloops y los elementos libres no son necesariamente lo mismo.

Agradecería que alguien me diera una definición de elemento libre o/y proporcionara un ejemplo de tal elemento en un determinado matroid.

Answer 1

Un elemento $e$ en $M$ es gratis si no es un coloop (no todas las bases contienen $e$ ) y si $e\in C$ circuito, entonces hay una base $B$ tal que $C=C(B,e)$ que es un circuito de expansión.

Por ejemplo, considere $M(C_n)=M(\{0,\cdots ,n-1\},\{\{i,(i+1)\pmod n\}\})$ el matroide del ciclo de un circuito con $n$ elementos. Sólo hay un circuito y se extiende. Para cualquier arista $e$ hay una base que no contiene $e$ (principalmente $\{0,\cdots ,n-1\}\setminus e$ ), por lo que cada elemento es gratis allí.

Compruebe la definición aquí (Matroides irrompibles) .