¿Por qué el operador diferencial $L$ ¿No es lineal?

Question

Un operador diferencial $L$ es lineal si: $$L(c_1 u_1+c_2 u_2)=c_1 L(u_1)+c_2 L(u_2),$$ $$c_1,c_2 \in \mathbb{R}$$ $$u_1=u_1(\overrightarrow{x})$$ $$u_2=u_2(\overrightarrow{x})$$ ¿Podría explicarme por qué $$Lu=u \frac{\partial{u}}{\partial{x_1}}+\frac{\partial{u}}{\partial{x_2}}$$ ¿no es lineal?

Answer 1

Considere $L(au)$ . $$L(au)=au\frac{\partial au}{\partial x_1}+\frac{\partial au}{\partial x_2}=a^2u\frac{\partial u}{\partial x_1}+a\frac{\partial u}{\partial x_2}=a\left(au\frac{\partial u}{\partial x_1}+\frac{\partial u}{\partial x_2}\right)$$ ¿Qué es? $aL(u)$ ? $$aL(u)=au\frac{\partial u}{\partial x_1}+a\frac{\partial u}{\partial x_2}\neq a\left(au\frac{\partial u}{\partial x_1}+\frac{\partial u}{\partial x_2}\right)$$ Así que, $$L(au)\neq aL(u)\mbox{, so $ L $ is not linear (obvious if we take $ a=2 $).}$$

Answer 2

Se pueden encontrar muchos ejemplos que rompen la linealidad, por ejemplo si tomamos $u=x_1$ y $v=x_2$ entonces $L(u)=u$ , $L(v)=1$ pero $L(u+v)=u+v+1$ . De hecho $L(f+g)=(f+g)\big(f_{x_1}+g_{x_1}\big)+\big(f_{x_2}+g_{x_2}\big)=\big(ff_{x_1}+f_{x_2}\big)+\big(gg_{x_1}+g_{x_2}\big)+\big(fg_{x_1}+gf_{x_1}\big)=L(f)+L(g)+\big(fg_{x_1}+gf_{x_1}\big)$ ,