Caracterización de la secuencia en $l^1$

Question

Consideremos el espacio de la secuencia integrable $\ell^1(\mathbb{R}) = \left\{ u \in \mathbb{R}^\mathbb{N} \ |\ \sum_{n=1}^\infty |u_n| < \infty \right\}$ . Me pregunto si es posible que
$$ \forall u \in \ell^1(\mathbb{R}), \quad \lim_{n\to \infty} n u_n = 0 $$ Si no es así, ¿puede dar un contraejemplo? Y en tal caso, ¿es posible que el subespacio $\left\{ u\in \ell^1(\mathbb{R}) \ | \ \lim_{n\to\infty} n u_n = 0\right\}$ está cerrado en $\ell^1(\mathbb{R})$ (y entonces es un espacio de Banach) ?

Para la primera pregunta, he intentado una prueba por contradicción, tratando de extraer una subsecuencia que no esté en $\ell^1(\mathbb{R})$ pero me resulta difícil hacerlo con rigor.

Gracias.

Answer 1

Dejemos que $$ u_n=\begin{cases} 0 & \text{if }n\text{ is not a power of }2,\\ k^{-2} & \text{if }n=2^k. \end{cases} $$ Entonces $\sum u_n<\infty$ pero $\limsup n\,u_n=\infty$ .

El subespacio de todas las secuencias tales que $n\,u_n\to0$ contiene el subespacio de todas las secuencias con un número finito de términos no nulos, que es denso en $\ell^1$ . De ello se deduce que no está cerrado.