Dejemos que $f$ sea una variable continuamente diferenciable $2π$ -función periódica de valor real en la recta real. Sea $a_n =\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} f (t) \cos nt\; dt$ donde $n$ es un número entero no negativo.
Elige las afirmaciones verdaderas:
(a) La derivada de $f$ también es un $2π$ -función periódica.
(b) $|a_n| ≤ C/n$ para todo n, donde $C > 0$ es una constante independiente de n.
(c) $a_n → 0$ , como $n → ∞$ .
Totalmente atascado en este problema. ¿Puede alguien ayudarme?
Están bien.
$(a)$ : $$f'(x+2π )=\lim_{dx\to0}\frac{f(x+2π+dx)-f(x+2π)}{dx}=\lim_{dx\to 0}\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}=f'(x)$$
$(b)$ Utiliza la integración por partes y el hecho de que la continua está acotada en un intervalo compacto.
$(c)$ Sigue fácilmente por $(b)$ o puedes utilizar el Teorema de Riemann-Lebesgue.
También podemos deducir c) de La desigualdad de Bessel
Tenemos que $<f,e_n> = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-inx} dx = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(-nx) dx + \frac{i}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(-nx) dx$ .
La desigualdad de Bessel nos dice que $\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty} |<f,e_n>|^2 \le \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2 dx < \infty$ de lo que se deduce que $|<f,e_n>| \to 0 $ como $|n|\ \to \infty$ y, por lo tanto, se deduce que para los casos no negativos $n$ , $\Re(<f,e_n>) = a_n \to 0$ como $n \to \infty$ también.
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