Consideremos el siguiente problema de minimización:
$$ ||Q u - h^{o} ||^{2} \to min \;\;\; s.t. \; u \geq 0 $$
donde $Q$ es $m \times n$ matriz y $u$ es $n$ -y el vector de la dimensión $h^{0}$ es $m$ -vector de dimensiones. Supongamos que $m > n$
Supongamos que tenemos la forma SVD de la matriz $Q$ :
$$ Q = U \Sigma V $$
donde $U$ es $m \times m$ matriz ortogonal, $V$ es $n \times n$ matriz ortogonal y $\Sigma$ es $m \times n$ matriz construida a partir de $n \times n$ parte superior, que es diagonal, y $(m - n) \times n$ parte inferior, que consiste en ceros:
$$ \Sigma = \left( \begin{array} & \sigma_{1} & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{2} & \ldots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & \sigma_{n - 1} & 0 \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \sigma_{n} \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ \end{array} \right) $$
Entonces podemos resolver el problema que no tiene restricciones de desigualdad:
$$ ||Q u - h^{0}||^{2} = ||U \Sigma V u - h^{0}||^{2} = ||\Sigma x - U^{T} h^{0}||^{2} = ||\Sigma x - x^{0}||^{2} $$
donde $x = V u$ y $x^{0} = U^{T} h^{0}$ . El podemos encontrar fácilmente el mejor vector $x$ y, a continuación, calcular las correspondientes $u$ de ella.
¿Podemos utilizar este método para un problema con restricciones?
