Desigualdad que implica la derivada magnética

Question

Necesito entender la siguiente desigualdad:

\begin{align*} \|\partial_j \psi\|_2 &\leq \|D_j\psi\|_2 + \|A_j\|_6\|\psi\|_3 \\ &\leq \|D_j\psi\|_2 + C \sum_{k=1}^3\|\partial_k A_j\|_2\sum_{k=1}^3\|\partial_k \psi\|^{1/2}_2\|\psi\|^{1/2}_2 \end{align*}

Estamos en $\mathbb{R}^3$ y $D_j = \partial_j-iA_j$ , $j=1,2,3$ . La primera desigualdad se desprende de las desigualdades de triángulo y de Hölder, pero me cuesta ver la segunda. He intentado la incrustación de Sobolev pero eso da (por ejemplo) $\|A_j\|_6 \leq \|A_j\|_{H^1}$ y no $\|A_j\|_6 \leq \|\nabla A_j\|_2$ . Para los demás términos he probado $$\|\psi\|_3 =\|\psi^{1/2}\psi^{1/2}\|_3 \leq \|\psi^{1/2}\|_{12}\|\psi^{1/2}\|_4 = \|\psi\|^{1/2}_6\|\psi\|_2^{1/2}$$ por Hölder, pero de nuevo no sé cómo establecer $\|\psi\|_6\leq \|\nabla\psi\|_2$ .

Answer 1

Simplemente voy a suponer que el $A_j$ son lo suficientemente suaves. Entonces la desigualdad de Gagliardo-Nirenberg-Sobolev $$ ||u||_{L^{p^*}(\mathbb{R^n})} \leq C ||Du||_{L^{p}(\mathbb{R^n})} $$ te da $$ ||A_j||_{L^{6}(\mathbb{R^n})} \leq C \sum_k ||\partial_k A_j||_{L^{2}(\mathbb{R^n})} $$ ya que los exponentes coinciden perfectamente: Aquí $p^*$ es el conjugado habitual de Sobolev $$ p^*=\frac{np}{n-p} \iff 6=\frac{2\cdot3}{3-2} $$ La segunda parte se deduce de la desigualdad de interpolación de Hölder (la encontré en mi libro de texto de alemán, no debería ser muy difícil de encontrar) $$ ||\psi||_{L^{q}(\mathbb{R^n})} \leq ||\psi||_{L^{p}(\mathbb{R^n})}^{\theta} ||\psi||_{L^{p^*}(\mathbb{R^n})}^{1-\theta} $$ Introduciendo los exponentes, tenemos $$ \theta=\frac{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}}{\frac{1}{p^*}-\frac{1}{p}}=\frac{1/3-1/2}{1/6-1/2}=\frac{1}{2} $$ Y así $$ ||\psi||_{L^{3}(\mathbb{R^n})} \leq ||\psi||_{L^{2}(\mathbb{R^n})}^{\frac{1}{2}} ||\psi||_{L^{6}(\mathbb{R^n})}^{\frac{1}{2}} $$ Entonces se puede utilizar de nuevo la primera desigualdad para ver que $$ ||\psi||_{L^{3}(\mathbb{R^n})} \leq C^{\frac{1}{2}}\sum_k||\psi||_{L^{2}(\mathbb{R^n})}^{\frac{1}{2}} ||\partial_k \psi||_{L^{2}(\mathbb{R^n})}^{\frac{1}{2}} $$ Combinando todas las estimaciones se obtienen las estimaciones deseadas. Una nota sobre la desigualdad:
La desigualdad de Gagliardo-Nirenberg-Sobolev sólo se cumple para $C_c^{\infty}$ Sin embargo, se puede encontrar una secuencia suave y compacta de funciones $\psi_i \to \psi$ en $W^{1,p}(\mathbb{R}^n)$ . Entonces tienes $$ ||\psi_i -\psi_m||_{L^{p^*}(\mathbb{R^n})} \leq C ||D\psi_i -D\psi_m||_{L^{p}(\mathbb{R^n})} $$ por lo que la secuencia también converge en $L^{p^*}(\mathbb{R^n})$ ya que las secuencias de Cauchy convergen. Tomar los límites y concluir.