$\mathbb Q[e^{\frac{2\pi i}{3}}] \cong\mathbb Q[x]/(x^2+x+1)$

Question

Quiero demostrar que el campo $\mathbb Q[e^{\frac{2\pi i}{3}}] $ es isomorfo a $\mathbb Q[x]/(x^2+x+1)$ . ¿Puede alguien darme una pista para enfocar esto?

Answer 1

Una pista: Utiliza el primer teorema de isomorfismo.

Answer 2

Si $\alpha$ es cualquier número algebraico con polinomio mínimo $f$ entonces existe un homomorfismo de anillo (de hecho un $\mathbb Q$ -homomorfismo de álgebra) $$\mathbb Q[X]\to \mathbb Q[\alpha]\\p(X)\mapsto p(\alpha)$$

llamado el mapa de evaluación (ya que estamos evaluando cada polinomio en $\alpha$ ). ¿Puedes calcular la imagen y el núcleo de este mapa? ¿Qué puedes concluir?