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¿Podemos decir que la función delta de Dirac es cero con casi total seguridad?

Se sabe que $\delta(x) = \infty $ si $x = 0$ y $=0$ si $x\ne 0 $ y también sabemos que $\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)dx=1$ . Sin embargo, si consideramos una integración de Lebesgue, $\delta(x)$ es cero casi con toda seguridad, por lo que podemos obtener $\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)d\mu(x)=0$ .

¿Por qué tengo una contradicción aquí?

Muchas gracias.

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El problema es que $\delta$ no es una función $\mathbb R\to\mathbb R$ aunque algunos lo lanzan como si lo fuera.

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No, no es una función, es una distribución o una medida según el punto de vista. Si usted está mirando desde una perspectiva de la medida, $\delta(A) = 1_A(0)$ .

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La función delta de Dirac es a veces problemática cuando pensamos en ella como una función en el sentido clásico. Si la tratamos correctamente es una "distribución" o "funcional lineal". Pero, mucha gente que se preocupa por la "respuesta correcta" más que por la teoría o el rigor matemático, puede ser un poco rápida y floja con las definiciones, y tratarla como una función.

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user247327 Puntos 1594

Porque esa es una mala "definición" de la "función de Dirac". La "función de Dirac" no es una función en absoluto, es una "distribución" o "función generalizada", una funcional que asigna un número a cada función. En concreto, la "función de Dirac" asigna el número f(0) a cada función, f.

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Gracias por su útil respuesta.

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