¿Cómo puedo resolver esto usando permutaciones?

Question

Los delegados de 10 países, entre ellos Rusia, Francia, Inglaterra y Estados Unidos, se sentarán en fila. ¿Cuántos asientos diferentes son posibles si los delegados franceses e ingleses deben estar sentados uno al lado del otro y los delegados rusos y estadounidenses no deben estar uno al lado del otro?

El enfoque que adopté fue determinar primero el total de arreglos posibles y luego restar los que no funcionarán según las condiciones dadas. Así, el total de arreglos posibles es $10!$ . Tomemos la primera condición en la que los delegados franceses e ingleses deben estar sentados uno al lado del otro. Elige un lugar para el delegado francés. Ahora bien, si el delegado francés está en uno de los asientos de los extremos, entonces sólo hay $1$ lugar para el delegado inglés. Esto constituye $2$ posibilidades para sus asientos. Ahora, si el delegado francés está en uno de los $8$ asientos interiores, el delegado inglés ha $2$ posibles asientos para cada uno así que $16$ pares. Un enfoque similar se adoptaría para los delegados rusos y estadounidenses. ¿Estoy en la dirección correcta? Cualquier ayuda será muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Hay un total de 10 delegados. Los delegados franceses e ingleses se sentarán juntos. Considerando al delegado francés y al inglés como una sola entidad (u otro delegado), hay un total de 9 entidades que se pueden organizar en $9!$ formas. También se pueden organizar delegados en francés e inglés en $2!=2$ formas: (FE,EF).

Así que total: $9!\times 2!$

Ahora se da por hecho que los delegados de EE.UU. y Rusia no deben estar juntos. Para calcular el recuento total con esta condición, calculamos el total de formas en las que los delegados estadounidenses y rusos se sientan juntos y lo restamos de lo anterior.

Con los delegados franceses e ingleses sentados juntos, tenemos un total de 9 entidades. Ahora queremos saber de cuántas maneras pueden sentarse juntos los delegados de Estados Unidos y Rusia. Siguiendo el mismo enfoque anterior, interpretamos a los delegados de EE.UU. y Rusia como una sola entidad. Así que ahora tenemos 8 entidades que se pueden organizar en $8!$ formas. Los delegados estadounidenses y rusos pueden organizarse en $2!$ entre ellos: (UR,RU). También se puede considerar a los delegados franceses e ingleses en $2!=2$ formas: (FE,EF).

Así que total: $8!\times 2!\times 2!$

La respuesta final se obtiene restando el número de arreglos en los que ambos

• Estados Unidos y Rusia se sientan juntos y
• El francés y el inglés se sientan juntos

del número de acuerdos en los que el francés y el inglés se sientan juntos:

$9!\times 2! - 8! \times 2! \times 2! = 564480$

Obsérvese que esto sigue el principio de inclusión-exclusión.

Otro enfoque

Los delegados franceses e ingleses se sentarán juntos. Considerando al delegado francés y al inglés como una sola entidad (o a otro delegado), hay un total de 9 entidades. Además, los delegados franceses e ingleses pueden organizarse en $2!=2$ formas: (FE,EF).

Ahora bien, de esas 9 entidades, los delegados estadounidenses y rusos no deberían sentarse uno al lado del otro. Así que primero permutamos las 7 entidades restantes (6 delegados más una entidad que contiene al delegado francés y al inglés) en $7!$ formas.

Estas 7 entidades tendrán 8 huecos entre ellas que podrán ser ocupados por los delegados estadounidenses y rusos, de manera que no se sentarán uno al lado del otro. Esto puede hacerse en ${}^8P_2$ formas.

Así que el recuento total: $2!\times 7!\times {}^8P_2=564480$

Answer 2

En primer lugar, resolver el problema para $9$ en lugar de $10$ delegados, en el sentido de que el francés y el inglés "van juntos". El resultado de la misma debe multiplicarse por el factor $2$ porque hay dos órdenes posibles: $FE$ y $EF$ .

Lugar Rusia. En el problema adaptado hay $2+7=9$ posibilidades. El $2$ representa lugares completamente a la derecha y completamente a la izquierda y el $7$ se refiere a los otros lugares.

Ahora coloque a los Estados Unidos. Si Rusia se coloca completamente a la izquierda o completamente a la derecha, entonces hay $7$ posibilidades para los Estados Unidos y en los otros casos hay $6$ .

Ahora $7$ se dejan puntos para el resto que conducen a $7!$ posibilidades.

Así que finalmente llegamos a $2\times[2\times7+7\times6]\times7!$ posibilidades.

Answer 3

Este es mi enfoque:

2!* 9 * 8! - ¡- 2! ¡*2! ¡* 8 * 7!

(2! => número de formas en que los delegados franceses e ingleses se organizan. por lo que son una sola entidad )

(9 => número de formas en que los delegados franceses e ingleses pueden sentarse a partir de las 8 plazas restantes )

ex:

    F E _ _ _ _ _ _ _ _

    _ F E _ _ _ _ _ _ _

    _ _ _ F E _ _ _ _ _ 

 and so on  

    _ _ _ _ _ _ _ _ F E 

(8! => otras 8 posibilidades de disposición de los delegados )

Otra condición es que los delegados estadounidenses y rusos no se sienten juntos. Podemos calcular restando el número de formas en que se sientan juntos de las ans anteriores.

(¡2! => número de formas en las que EE.UU. y Rusia se organizan. por lo que son una sola entidad)

(2! => número de formas en que los delegados franceses e ingleses se organizan. por lo que son una sola entidad)

(8 => número de maneras en que los delegados de EE.UU. y Rusia pueden sentarse desde las 7 plazas restantes )

ex: 

U R _ _ _ _ _ _ F E

_ U R _ _ _ _ _ F E

and so on 

F E _ _ _ _ _ _ U R 

(¡7! => número de maneras de arreglar los 7 restantes. Nota: el francés y el inglés son una sola entidad )