Circuito de primer orden que parece de segundo orden

Question

La imagen adjunta es un circuito de primer orden porque las dos ramas del circuito están desacopladas, pero me cuesta demostrarlo matemáticamente. A partir del diagrama, podemos escribir inmediatamente dos ecuaciones de KVL (cada bucle contiene la fuente independiente) que son EDO de primer orden en los dos condensadores diferentes. Pero no puedo pensar en una relación entre los dos condensadores.

Si alguien puede mostrar explícitamente por qué este debe ser un circuito de primer orden se lo agradecería mucho.

Answer 1

Has definido el circuito, pero no la salida. ¿Estás mirando, por ejemplo, el voltaje a través de la tapa de 1 F? Supongamos que sí. Como tu fuente de tensión tiene impedancia cero, la tensión a través de cualquiera de los condensadores (y tienes que elegir un punto) será independiente de la existencia (o no) del otro par RC.

Así que la respuesta en cualquiera de los condensadores será una respuesta de primer orden. Para calcularlo puedes eliminar el otro RC, sin que ello afecte a tus resultados.

EDIT - El OP me ha pedido que desarrolle esta respuesta, así que déjame intentarlo.

Supongamos (sólo por diversión) que Vs tiene un valor de 1 voltio. Por convención, las fuentes de tensión son ideal fuentes. Es decir, una fuente de 1 voltio pondrá 1 voltio independientemente de la corriente requerida.

Ahora, conecta la red RC de 4 ohmios/.5 F. ¿Cuál es la salida de Vs? 1 voltio.

Ahora conecte la red de 4 ohm/1 F. ¿Cuál es la salida de Vs? 1 voltio.

Así, la tensión producida en cualquiera de los dos condensadores será independiente del valor (o incluso de la existencia) del otro condensador.

Ahora, sobre la "impedancia cero". Vs se muestra como una fuente de tensión, capaz de suministrar cualquier corriente arbitraria. Si conectas las dos salidas con una resistencia de 0 ohmios, obtendrás una corriente infinita. ¿Y si, en lugar de una fuente ideal, consiste "realmente" en una fuente ideal de 1 voltio en serie con una resistencia de 1 ohmio? Esto es lo que significa una impedancia de salida de 1 ohmio. Entonces, un cortocircuito en la salida dará como resultado 1 amperio, lo que está mucho más en línea con las fuentes de tensión reales, como las baterías.

Ahora considere lo que sucede cuando hacemos el experimento de conexión que mencioné antes. Sólo por el bien de la ilustración, deshacerse de los condensadores.

Si conecta una sola resistencia de 4 ohmios a la salida, la fuente de tensión será de 1 ohmio en serie con 4 ohmios, para un total de 5 ohmios, y una corriente de salida de 0,2 amperios. La Ley de Ohm le dirá que la tensión a través de la resistencia de 4 ohmios será de 0,8 voltios.

Ahora añade una segunda resistencia de 4 ohmios a la salida. Efectivamente, esto producirá una carga de 2 ohmios. La fuente de tensión verá 1 ohmio más 2 ohmios, y producirá 0,333 amperios de corriente, y el voltaje a través de la carga será de 0,667 voltios - no 0,8.

Así, la impedancia de salida de una fuente de alimentación afectará a la tensión suministrada a una carga, pero si la impedancia de salida es cero, la tensión en la carga será independiente del valor de la carga.

Espero que esto ayude.

Answer 2

No hay ninguna relación entre los condensadores de tu circuito. Las dos ramas están en paralelo con una fuente de tensión. Su comportamiento es independiente. Aquí están las ecuaciones KCL:

$$\frac{V_S - V_{C1}}{4\Omega} = 0.5\mathrm{F}\cdot\frac{dV_{C1}}{dt}$$ $$\frac{V_S - V_{C2}}{4\Omega} = 1\mathrm{F}\cdot\frac{dV_{C2}}{dt}$$

Obsérvese que se trata de ecuaciones desacopladas: podemos resolverlas por separado. Ahora, mira este circuito:

simular este circuito - Esquema creado con CircuitLab

Aquí están las ecuaciones de KCL:

$$\frac{V_{S} - V_{C1}}{R_1} = C_1\frac{dV_{C1}}{dt} + \frac{V_{C1} - V_{C2}}{R_2}$$ $$\frac{V_{C1} - V_{C2}}{R_2} = C_2\frac{dV_{C2}}{dt}$$

Estas ecuaciones comparten el \$({V_{C1} - V_{C2}})/{R_2}\$ término, lo que significa que no podemos resolverlos por separado. Para resolver este sistema, se empezaría por resolver \$V_{C1}\$ en la segunda ecuación:

$$V_{C1} = V_{C2} + R_2C_2\frac{dV_{C2}}{dt}$$

y conectando eso a \$V_{C1}\$ en la primera ecuación. Pero la primera ecuación contiene \${dV_{C1}}/{dt}\$ ¡! Cuando introducimos nuestra fórmula para \$V_{C1}\$ también tenemos que utilizar su derivada, que nos da el segundo derivado de \$V_{C2}\$ :

$$\frac{dV_{C1}}{dt} = \frac{dV_{C2}}{dt} + R_2C_2\frac{d^2V_{C2}}{dt^2}$$

Por eso es un circuito de segundo orden, mientras que tu circuito (cuyas ecuaciones están desacopladas) no lo es.

Answer 3

¿El orden del circuito? Ese concepto debe ser acordado antes de que el caso pueda ser resuelto.

Una definición: Es un circuito de primer orden si se pueden obtener todas las corrientes y tensiones con cualquier condición inicial resolviendo sólo ecuaciones diferenciales escalares de primer orden. La limitación "escalar" se debe a que uno puede construir formalmente una ecuación vectorial de variable de estado de un circuito LC complejo con matrices y la derivada de 1er orden del vector de variable de estado.

En tu circuito las tensiones de los condensadores V1 y V2 obedecen a las ecuaciones dV1/dt=(Vs-V1)/(R1C1) y dV2/dt=(Vs-V2)/(R2C2). Ambas pueden resolverse por separado si se conocen Vs y el valor inicial de la tensión del condensador. Las corrientes se pueden calcular a partir de las tensiones y las resistencias.

En realidad las ecuaciones diferenciales de V1 y V2 juntas son una ecuación vectorial de variable de estado, pero resolverla como una ecuación de variable de estado es posible sin generar una ecuación de orden superior.

Si ocurre que Vs no es rígido, sino que cae más o menos debido a la corriente, las independencias de las ramas desaparecen y el circuito es de 2º orden.

Answer 4

En mi opinión, este es un circuito de segundo orden. Es sólo un caso especial en el que el coeficiente de la segunda derivada en la EDO combinada resulta ser cero, porque las variables de estado no se influyen mutuamente. Esto se puede ver si (como se ha sugerido anteriormente) se introduce el acoplamiento a través de una resistencia en serie con la fuente, y luego se observa lo que sucede cuando esa resistencia se acerca a cero.

Answer 5

Pregunta: Si queremos caracterizar un CIRCUITO, ¿es correcto pedir el ORDEN de un circuito? ¿Puede un circuito tener un orden?

Para mí, es más apropiado analizar una función de transferencia específica derivada del circuito.

Por ejemplo - preguntando por la corriente a través de cada rama o preguntando por la tensión a través de uno de los condensadores tenemos, por supuesto, un Ecuación de primer orden (paso bajo).

Por otro lado, como la conductancia total (o la impedancia total Z1||Z2) es de segundo orden (ver la respuesta de "un ciudadano preocupado") la expresión de la corriente total a través del circuito será a Expresión de segundo orden.

EDITAR : Claro y descriptivo ejemplo :

En algunos casos reales, tenemos una fuente de tensión de la señal, que acciona al mismo tiempo un paso bajo y un paso alto. Digamos que cada uno de segundo orden.

¿Diría usted que tenemos un único circuito de 4º orden? No - por supuesto, no. Una vez más, un CIRCUITO no puede tener un orden específico, es una función derivada de este circuito que se describe por el orden de esta función (resistencia de entrada, función de transferencia,..)

Por supuesto, la situación es completamente diferente, cuando la fuente de la señal tiene una resistencia interna de la fuente. En este caso, ambos filtros no están aislados el uno del otro porque la corriente en un circuito determina la caída de tensión a través de la resistencia de la fuente y, por lo tanto, influye en la tensión de entrada para el otro circuito.

Fazit : No es el circuito, sino una variable o función específica la que hay que analizar al pedir la orden.