Motivación de los teoremas de Baby Rudin 2.38-2.40 (compacidad, células k)

Question

Agradecería algo de contexto en torno a los teoremas 2.38-2.40 de Baby Rudin. Está en la sección que trata de la compacidad. Me resulta difícil dar alguna motivación a estos teoremas en particular. ¿Por qué son importantes? ¿Por qué se seleccionan estos teoremas y no otros?

Estos son dichos teoremas:

\begin{array}{l}\text { 2.38 Theorem. If }\left\{I_{n}\right\} \text { is a sequence of intervals in } R^{1} \text { , such that } I_{n} \supset I_{n+1} \\ (n=1,2,3, \ldots), \text { then } \bigcap_{1}^{\infty} I_{n} \text { is not empty. }\end{array}

y

\begin{array}{l}\text { 2.39 Theorem. Let } k \text { be a positive integer. If }\left\{I_{n}\right\} \text { is a sequence of } k \text { -cells such } \\ \text { that } I_{n}\supset I_{n+1}(n=1,2,3, \ldots), \text { then } \bigcap_{1}^{\infty} I_{n} \text { is not empty. }\end{array}

y

\begin{equation} \text { 2.40 Theorem. Every k-cell is compact. } \end{equation}

En particular, ningún otro libro que yo conozca utiliza el concepto de k-cell por lo que es difícil imaginar por qué son importantes las pruebas que lo involucran.

Gracias.

Answer 1

Nota: Al estudiar Rudin página por página sin asumir ninguna otra teoría, no se aprende que los intervalos en $\Bbb R$ son compactas hasta que se estudie la prueba de

\begin{array}{l}\text { 2.40 Theorem. Every } k \text{-cell is compact.}\end{array}

Además, al escribir con un estilo escueto, Rudin ni siquiera comenta que

$\quad$ ... cada subconjunto de intervalos de $\Bbb R$ es compacto

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Para apreciar (o no) el desarrollo de Rudin, se anima al PO a utilizar otros recursos para formular pruebas de estos dos resultados:

Podría haber sido instructivo si Rudin hubiera utilizado la palabra propuesta en lugar de teorema para algunos resultados relativos a $k\text{-cells}$ para que al llegar, digamos,

\begin{array}{l}\text { 2.39 Proposition. Let } k \text { be a positive integer. If }\left\{I_{n}\right\} \text { is a sequence of } k \text { -cells such } \\ \text { that } I_{n}\supset I_{n+1}(n=1,2,3, \ldots), \text { then } \bigcap_{1}^{\infty} I_{n} \text { is not empty. }\end{array}

estaríamos "sobre aviso" de que este resultado es accesorio a los teoremas.

Al hojear su libro parece que nunca utiliza la palabra lema para destacar los resultados.