Norma del operador que pone a cero partes de una secuencia

Question

Estoy estudiando el "Análisis Funcional Introductorio" de Kreyszig y no pude entender uno de los ejemplos. Hay una secuencia de operadores $\{T_n\}$ donde el operador $T_n:\ell^2\to \ell^2$ se define por $$T_nx = (\underbrace{0,0,...,0}_n,a_{n+1},a_{n+2},a_{n+3}...)$$ aquí $x=(a_{1},a_{2},a_{3}...)\in\ell^2$ . ¿Por qué exactamente la norma del operador es igual a $\|T_n\|=1$ ?

Answer 1

Claramente $\|T_nx\|_2\le\|x\|_2$ por cada $x\in\ell_2$ . Así, $\|T_n\|\le 1$ . Para demostrar $\|T_n\|=1$ basta con encontrar algún vector de norma uno $x$ en $\ell_2$ tal que $\|T_nx\|=1$ . Considera que $x=(a_1,a_2,\ldots)$ , donde $a_{n+1}=1$ y $a_j=0$ para $j\ne n+1$ . Entonces $x$ y $$T(x)=(0,0,\ldots,0,1,0,\ldots)$$ cada uno tiene norma una.

Answer 2

El operador $T_n$ es una proyección ortogonal. Es una proyección porque al aplicar el mismo operador dos veces se obtiene la misma respuesta. Es ortogonal porque $T_nx$ es ortogonal a $(I-T_n)y$ para todos $x,y$ . En consecuencia, $$\|x\|^2 = \|(I-T_n)x+T_nx\|^2=\|(I-T_n)x\|^2+\|T_nx\|^2.$$ Por lo tanto, $\|(I-T_n)x\| \le \|x\|$ y $\|T_nx\| \le \|x\|$ para todos $x$ . Así que ambos $T_n$ y $I-T_n$ tienen normas delimitadas por $1$ . La norma de $T_n$ es $1$ porque, si $T_nx \ne 0$ entonces $$\|T_n(T_nx)\|=\|T_nx\| \\ \implies \|T_n y \|=\|y\|,\;\;\; y =T_nx.$$