¿Cómo son $x$ y $a$ definida en la expansión en serie de Taylor de la distribución de Boltzmann?

Question

Estoy leyendo un libro de mecánica estadística en el que el autor utiliza una expansión de Taylor para derivar la distribución de Boltzmann. Comienza con la siguiente ecuación para la probabilidad de cualquier estado $\epsilon$ :

$$P(\epsilon) \propto \Omega(E- \epsilon) \times 1$$

El autor toma el logaritmo natural de ambos lados y expande el lado derecho en una expansión de taylor sobre $\epsilon = 0$ para conseguir esto:

$$ln\left(\Omega(E- \epsilon)\right) = ln(\Omega(E)) - \frac{d \ ln(\Omega(E))}{dE}\epsilon + ...$$

No entiendo como el autor ha llegado a esto, la correspondiente ampliación de la serie taylor estándar sobre $a$ es:

$$f(x) = f(a) +\frac{d \ f(x)}{dx}(x-a)+...$$

No veo qué parte de $ln\left(\Omega(E- \epsilon)\right)$ debe ser considerado $x$ y qué parte debe considerarse $a$ . Debería $(E- \epsilon)$ todos sean considerados $x$ , debe ser sólo $E$ o $\epsilon$ ?

Answer 1

En su puesto queda claro que $x=\epsilon$ y $a=0$ . Como tal, dejemos $$ f(x)=\log\Omega(E-x). $$ Ampliando sobre $x=0$ tenemos entonces para los dos primeros términos de las seires de Taylor $$ \tag{1} f(x)=f(0)+\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\log\Omega(E-x)\Big|_{x=0}\right)x+\cdots. $$ Tras la inspección $f(0)=\log\Omega(E)$ . Consideremos ahora una función $g$ y observar que $$ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}g(E-x)\Big|_{x=0}=-g^\prime(E-x)\Big|_{x=0}=-g^\prime(E). $$ Pero podemos obtener el mismo resultado escribiendo $$ -\frac{\mathrm d}{\mathrm dE}g(E)=-g^\prime(E). $$ Así, $$ -\frac{\mathrm d}{\mathrm dE}g(E)=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}g(E-x)\Big|_{x=0}. $$ Si se juntan ambos resultados, se obtiene $$ \tag{2} f(x)=\log\Omega(E)-\frac{\mathrm d}{\mathrm dE}\log\Omega(E)x+\cdots, $$ que es el resultado en su libro de texto.