Supongamos que $U\subseteq{\bf R}^2$ es una región abierta y $f:U\to{\bf R}^3$ define alguna superficie lisa en el espacio. Ahora dejemos que $\gamma:I\to U$ sea un camino en $U$ que corresponde a un camino $f\circ\gamma:I\to{\cal S}=f(U)\subset {\bf R}^3$ en la superficie que denotamos por $\cal S$ (aquí $I$ es un intervalo abierto en $\bf R$ ). ¿Cómo podemos encontrar la longitud de esta curva?
La longitud se calcula como
$${\rm length}=\int_I\underbrace{\left\|\frac{d}{dt}(f\circ\gamma)\right\|}_{\large\rm ``speed"}dt=\int_I\left\|J_f(\gamma)\gamma'(t)\right\|dt $$
donde $J_F$ es el jacobiano, o matriz de parciales, de $f$ con respecto a $\gamma$ . Obsérvese que una expresión de la forma $\| Jv\|$ puede reescribirse como $\sqrt{Jv\cdot Jv}=\sqrt{v^T(J^TJ)v}$ . Obsérvese que toda matriz $A$ determina una forma bilineal como $Q_A(u,v)= u^TAv$ .
En general, entonces, supongamos que tenemos una variedad $\cal M$ (el dispositivo destinado a axiomatizar el espacio curvo), que es esencialmente una colección de puntos con alguna topología; no hay una noción a priori de distancia entre puntos. Para crear tal noción de distancia, forme una colección de formas bilineales $g_p$ uno asociado a cada punto $p$ en el espacio, de modo que cualquier camino $\gamma:I\to\cal M$ puede "medirse" a través de
$$\int_I \sqrt{g_\gamma(\gamma',\gamma')}dt.$$
(En aras de la claridad, estoy falseando las convenciones notacionales habituales). En general, dados los gráficos, también conocidos como parches de coordenadas, representamos $g$ como una matriz, y así poner dos índices debajo de ella.
Esta es la motivación del tensor métrico en la geometría diferencial. Los vectores suelen entenderse como vectores tangentes; existe un objeto abstracto llamado "espacio vectorial" cuyos elementos se llaman por decreto "vectores", y a cada punto del espacio le adjuntamos un espacio vectorial llamado "espacio tangente". La derivada $\gamma'$ de un bonito camino $\gamma:I\to\cal M$ no reside en un solo espacio, sino que se mueve a lo largo de los espacios tangentes, lo que significa que $\gamma'(t)$ está siempre en el espacio tangente del punto $\gamma(t)\in\cal M$ y además la forma bilineal $g_p$ en el punto $p\in\cal M$ se define siempre en $p$ El espacio tangente de la empresa.
Hay diferentes maneras, puramente algebraicas, de entender los vectores y los tensores en el contexto del álgebra abstracta (verás $\otimes$ símbolos en todas partes y ninguna notación de suma de Einstein, por ejemplo): estas formas puramente algebraicas se casan en última instancia con las formas diferenciales-geométricas de entender los tensores en los niveles más avanzados de la geometría.
La distancia entre dos puntos no cambiará si se modifican las coordenadas. También el propio tensor métrico, como función, no cambiará. Pero la matriz que representa el tensor métrico depende de qué sistema de coordenadas se está imponiendo en todos los espacios tangentes, por lo que la representación matricial del tensor métrico cambiará de hecho con los cambios de coordenadas.
