Transformada de Fourier de $g(x) = (1 + x^{1/a} )^a$

Question

Dada una función

$g(x) = (1 + x^{1/a} )^a \times 1_{\{x > 0\}}$

que está acotado que está acotado por cero, ¿puedo calcular la transformada de Fourier?

Gracias.

Answer 1

Para una transformada de Fourier generalizada cuando $a$ es un número entero, expanda $(1 + u)^a$ a través del teorema del binomio y establecer $u = x^{\frac{1}{a}}$ . Obtendrá

$\sum_{k=0}^a\binom{a}{k}x^{\frac{k}{a}}$ .

A continuación, aplique la identidad de la transformada de Fourier:

$x^{\frac{k}{a}}f(x) \xrightarrow{\mathscr{F}} (\frac{i}{2\pi})^{\frac{k}{a}}\frac{d^\frac{k}{a}}{d\zeta^\frac{k}{a}}\mathscr{F}f(x)$

a la serie término a término, con $\mathscr{F}f(x) = \delta(\zeta)$ .

Para las derivadas fraccionarias de la función delta, se puede aplicar la identidad :

$D^\alpha\delta(\zeta) = \dfrac{1}{\Gamma(\lceil\alpha\rceil-\alpha)}\dfrac{d^{\lceil\alpha\rceil}}{d\zeta^{\lceil\alpha\rceil}}(\zeta^{\lceil\alpha\rceil-\alpha-1}H(\zeta))$ .

Creo que la misma idea podría aplicarse con $a$ real, pero la serie sería infinita.