Mostrar $v(x) = 0$ es la única solución para $y'' + cy=0, v(0) = 0, v'(0)=0, c\gt 0$

Question

Mostrar $v(x) = 0$ es la única solución para $y'' + cy=0, v(0) = 0, v'(0)=0, c\gt 0$

Esta pregunta es el único problema de práctica que no puedo hacer para mi examen en treinta minutos.

Veo que es cierto, ya que con estas ecuaciones, normalmente podemos tomar:

$y''+ay'+by=2x^2$

$=y'''+ay''+by'=4x$

$=y^{IV} + ay''' + by'' = 4$

y saber $by'' = 4$ ya que $y'''$ y $y^{IV}$ ahora es claramente igual a cero. Como tenemos $c \gt 0$ el $0$ debe provenir del $y$ plazo.

Pero la lógica no es una prueba especialmente buena. Aparentemente es un problema muy trivial, pero está claro que se me escapa algo. Se agradece cualquier ayuda.

Nota: ¡me interesa la solución tanto si es antes de mi examen como si no! Muchas gracias.

Answer 1

Dejemos que $y$ ser una solución al problema: $$ y''+cy=0,~y'(0)=y(0)=0$$ Definir $G(x)=(y'(x))^2+c(y(x))^2$ . Claramente $G'(x)=2y'(x)(y''(x)+cy(x))=0$ Así que $G$ debe ser constante. Pero $G(0)=0$ . Por lo tanto, $G(x)\equiv0$ . Pero para $c>0$ esto puede ocurrir si y sólo si $y(x)\equiv0$ .

Answer 2

$y''=y'\frac{d(y')}{dy}$

Puedes probarlo fácilmente. Transformará la ecuación en primer orden. Finalmente, tendrás las soluciones $$y=0$$

$$OR$$ $$y=A\sin(\omega x+\phi)$$

Donde $\omega=\sqrt c$ y los otros 2 son constantes.

Esta es una ecuación de SHM .

Espero que pueda tomar desde aquí. Espero que haya mejores métodos por ahí.

Answer 3

Si $f$ es cualquier función tal que

$f'' + c f = 0 \tag{1}$

con $c > 0$ podemos multiplicar (1) por $f'$ para obtener

$f'f'' + cff' = 0, \tag{2}$

y observamos que

$(\dfrac{1}{2}(f')^2 + \dfrac{c}{2}f^2)' = f'f'' + cff' = 0, \tag{3}$

de lo que se deduce que

$\dfrac{1}{2}(f')^2 + \dfrac{c}{2}f^2 = k, \; \text{a constant.} \tag{4}$

Si ahora $v(x)$ satisface (1) con $v(0) = v'(0) = 0$ entonces lo anterior demuestra que

$\dfrac{1}{2}(v'(x))^2 + \dfrac{c}{2}v^2(x) = 0 \tag{5}$

para todos $x$ con $c > 0$ cada término de la izquierda de (5) debe desaparecer para que se cumpla; así, $v(x) = 0$ en todas partes.

Espero que esto ayude. Adiós,

y como siempre,

¡¡Fiat Lux!!