Determinar la trayectoria de una masa puntual mediante el principio de Hamilton

Question

Soy muy nuevo en este campo pero intento resolver un problema utilizando el principio de Hamilton y después quiero comparar la solución resolviendo el mismo problema utilizando las leyes de conservación. Lo que quiero hacer es determinar la trayectoria de la masa. Esto es lo que tengo:

Tengo un cuerpo de masa $m$ . Este cuerpo se mueve uniformemente desde el punto $A$ para señalar $B$ por punto de cruce $C$ . El $x$ -El eje es una pared. Así que no necesito $g$ en mis cálculos.

Lo que quiero hacer es determinar la trayectoria de este cuerpo utilizando el principio de Hamilton.

Creo que sólo necesito la energía cinética que puedo poner en

\begin{equation} S = \int_{t_0}^{t_1} L \ dt = \int_{t_0}^{t_1} T-V \ dt = \int_{t_0}^{t_1} \frac{m}{2}v^2 \ dt = \int_{t_0}^{t_1} \frac{m}{2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 \ dt. \end{equation}

Esto es lo que consigo con $V = 0$ . Pero sigo necesitando la trayectoria de la masa. ¿Cómo puedo obtener esta trayectoria? ¿Y cómo puedo determinar la trayectoria utilizando las leyes de conservación? Y cómo cohesionar mis ángulos $a$ y $b$ ?

¿Puede alguien ayudarme a entender este problema?

Answer 1

En el caso de que no haya potencial, la velocidad de su partícula es constante. En cualquier intervalo $S = \tfrac{1}{2}mv^2 T$ donde $T$ es una longitud de tiempo.

El principio de mínima acción de Hamilton debería decir:

$$T_{AC} + T_{CB} > T_{AB}$$

Esto será definitivamente cierto ya que $d = vt$ por lo que podemos multiplicar ambos lados por $v$ :

$$ \overline{AC} + \overline{CB} > \overline{AB}$$

Esto se conoce como el desigualdad del triángulo en matemáticas, que la suma de dos lados de un triángulo es mayor que el tercero.