Demostrar que $(X_{t})_{t\in[0,1]}$ de variables aleatorias i.i.d con distribución no degenerada no tiene ninguna modificación continua

Question

Estoy trabajando en un ejercicio que dice lo siguiente:

Dejemos que $(X_{t})_{t\in [0,1]}$ sea una familia (incontable) de variables aleatorias i.i.d. con distribución no degenerada. Demostrar que ninguna modificación de este proceso puede ser continua.

Tengo algún intento pero no puedo continuar:

Dejemos que $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ sea el espacio de probabilidad sobre el que $(X_{t})$ se define. Supongamos que $X_{t}$ tiene una modificación continua $\tilde{X}_{t}$ . Es decir, existe un $\Omega_{0}\subset\Omega$ con $\mathbb{P}(\Omega_{0})=1$ tal que podemos definir una función aleatoria $\tilde{X}:\Omega_{0}\times T\longrightarrow\mathbb{R}$ que satisface $\tilde{X}_{t}(\omega)$ es continua en $t$ para todos $\omega\in\Omega_{0}$ y $X$ y $\tilde{X}$ sólo difieren en un conjunto $\Omega\setminus\Omega_{0}$ con probabilidad $0$ .

A continuación, observe que, en el aspecto de $X_{t}$ no todos los eventos son elementos de $\mathcal{F}$ . Por ejemplo $$A:=\{\omega\in\Omega:X(\omega,t)=0\ \text{for all}\ t\in [0,1]\}=\bigcap_{t\in[0,1]}\{X(\omega, t)=0\},$$ ya que se trata de una intersección incontable de eventos medibles de $\mathcal{F}$ .

Sin embargo, como $\tilde{X}_{t}$ es continua en, entonces podemos representar $$B:=\{\omega\in\Omega_{0}:\tilde{X}(\omega,t)=0\ \text{for all}\ t\in[0,1]\}=\bigcap_{t\in D}\{\omega\in\Omega_{0}:\tilde{X}(\omega,t)=0\},$$ donde $D$ es un subconjunto denso contable de $[0,1]$ por ejemplo, $D=\mathbb{Q}\cap [0,1]$ . Por lo tanto, $B\in\mathcal{F}$ .

Entonces me quedé atascado, y por ahora ni siquiera he utilizado el i.i.d y no-degenerar.... ¿qué debo hacer para obtener la contradicción? ¡Gracias!

Answer 1

Sugerencia: deje que $t_n \in [0,1]$ sea cualquier secuencia de números distintos que converjan a algún $t$ . Entonces la secuencia de variables aleatorias $Y_n := \tilde{X}_{t_n}$ son iid con una distribución no degenerada. Si $\tilde{X}$ fuera realmente continua, entonces esta secuencia convergería a.s. a $\tilde{X}_t$ . Sin embargo, demuestre que una secuencia de variables aleatorias iid no degeneradas converge con probabilidad 0.

Hay varias maneras de hacer esto último. Un enfoque: utilizar la no degeneración de la distribución para demostrar que existen dos conjuntos abiertos disjuntos $U,V \subset \mathbb{R}$ tal que $P(Y_n \in U) > 0$ y $P(Y_n \in V) > 0$ . Utilice la ley de Borel del cero-uno para demostrar que, con probabilidad 1, tenemos $Y_n \in U$ infinitamente a menudo y $Y_n \in V$ infinitamente a menudo. Cuando esto ocurre, la secuencia $Y_n$ no es ciertamente convergente.