Demostrar que $W_1 \subset W_2$ si y sólo si $W_2^0\subset W_1^0$

Question

Dejemos que $V$ sea un subespacio de dimensión finita sobre $F$ . $W_1, W_2$ son subespacios de $V$ . Demostrar que $W_1 \subset W_2$ si y sólo si $W_2^0 \subset W_1^0$ .

He probado una dirección pero estoy atascado probando la dirección inversa. Es decir, ¿cómo demuestro que si el aniquilador de $W_2$ está contenido en el aniquilador de $W_2$ entonces $W_2$ contiene $W_1$ ?

Answer 1

Basta con demostrar que $W_1 \not \subset W_2 \implies W_2^0 \not \subset W_1^0$ .

En particular, dejemos que $x$ sea un elemento de $W_1$ que no está en $W_2$ (nota que $x \neq 0$ ). En resumen: tomar $f$ para ser el mapa dual de $x$ . Entonces $f$ aniquila $W_2$ pero no $W_1$ .

En largo: dejar $x_1 = x$ . Sea $x_2,\dots,x_k$ sea una base para $W_2$ . Ampliar $\{x_1,\dots,x_k\}$ a una base $\{x_1,\dots,x_n\}$ en $V$ . Definir $f$ sobre esta base por $$ f(x_i) = \begin{cases} 1 & i=1\\ 0 & i \neq 1 \end{cases} $$ ahora hemos definido un único funcional lineal $f$ . Este $f$ aniquila $W_2$ pero no $W_1$ .