Prueba

Question

Demuestre que $$\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom nk=0$$ Así que para odd $n$ tenemos un número par de términos. Así que $\binom nk=\binom n{n-k}$ que tienen signos opuestos. Por lo tanto, la suma es 0.

Incluso para $n$ tenemos que $$\sum{k=0}^n(-1)^k\binom nk= \binom n0+\sum{k=1}^{n-1}(-1)^k\binom nk+\binom nn $$Ahora$$ \sum{k=1}^{n-1}(-1)^k\binom nk= \sum{k=1}^{n-1}(-1)^k\left[\binom{n-1}k+\binom{n-1}{k-1}\right]$$ ¿Cuál sería esa suma entre corchetes?

Answer 1

Aquí hay una forma alternativa:

$$0=(1-1)^n=\sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} \binom{n}{k}$$

por el teorema binomial.

Answer 2

Otra forma para las personas de mentalidad combinatoria:

$$\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} = 0$$

es el número de formas de lanzar n monedas y obtener un número par de cabezas, menos el número de formas de voltear n monedas y obtener un número impar de cabezas. Dado que la paridad del número de cabezas siempre se reducirá a la última moneda lanzada, y las cabezas / colas son, por supuesto, igualmente probables en ese punto, la suma se evalúa a 0.

Answer 3

Debes saber que $$ (a+b)^n=\sum{k=0}^n \binom nk a^kb^{n-k}. $$Cuando $b=1$, esto dice$$ (1+a)^n=\sum{k=0}^n \binom nk a^k. $$ Así que ahora solo necesita considerar el caso en el que $a=-1$.

Answer 4

<span class="math-container"> $$0=(1-1)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}(-1)^k$$ </span>