Una función integrable y periódica $f(x)$ satisface $\int_{0}^{T}f(x)dx=\int_{a}^{a+T}f(x)dx$ .

Question

Quiero probar:

Para una función integrable $f(x)$ y periódica con período $T$ para cada $a \in \mathbb{R}$ , $$\int_{0}^{T}f(x)\;dx=\int_{a}^{a+T}f(x)\;dx.$$

He intentado cambiar los valores y definir $y=a+x$ para que $dy=dx$ y los límites de las integrales son como queremos, pero no estoy seguro de cómo utilizar el hecho de que $f(x)$ es periódica.

¡Muchas gracias!

Answer 1

$$ \begin{align} \int_a^{a+T}f(x)\,\mathrm{d}x-\int_0^{T}f(x)\,\mathrm{d}x &=\left(\color{red}{\int_a^{T}f(x)\,\mathrm{d}x}+\int_T^{a+T}f(x)\,\mathrm{d}x\right)\\ &-\left(\int_0^{a}f(x)\,\mathrm{d}x+\color{red}{\int_a^{T}f(x)\,\mathrm{d}x}\right)\\ &=\int_T^{a+T}f(x)\,\mathrm{d}x-\int_0^{a}f(x)\,\mathrm{d}x\\ &=\int_0^{a}f(x+T)\,\mathrm{d}x-\int_0^{a}f(x)\,\mathrm{d}x\\ &=\int_0^{a}(f(x+T)-f(x))\,\mathrm{d}x\\ &=\int_0^{a}0\,\mathrm{d}x\\ &=0 \end{align} $$

Answer 2

Si $F$ es una primitiva de $f$ entonces

$$\int_{a}^{a+T}f(x)\ dx-\int_{0}^{T}f(x)\ dx$$ $$=F(a+T)-F(a)-F(T)+F(0)$$ $$=\Big(F(a+T)-F(T)\Big)-\Big(F(a)-F(0)\Big)$$ $$=\int_T^{a+T}f(x)\ dx-\int_0^af(x)\ dx$$ $$=0.$$

Se comprueba la última igualdad haciendo el cambio de variable obvio, y utilizando la periodicidad.

EDITAR 1. Lo que he escrito más arriba es cómo recuerde el cómputo. Por supuesto, puede ser escrito así: $$ \int_{a}^{a+T}f(x)\ dx-\int_{0}^{T}f(x)\ dx=\int_T^{a+T}f(x)\ dx-\int_0^af(x)\ dx=0. $$

EDITAR 2. Justificación formal de la primera igualdad en la pantalla anterior: $$ \int_0^af(x)\ dx+\int_{a}^{a+T}f(x)\ dx=\int_{0}^{T}f(x)\ dx+\int_T^{a+T}f(x)\ dx. $$

(Esta fórmula debe aparecer en alguna parte...)

Answer 3

He aquí una imagen que ilustra la idea básica. (Compara las zonas marcadas con el mismo color).

$NT$ denota el múltiplo entero de $T$ que pertenece al intervalo $\langle a,a+T \rangle$ . (En este ejemplo $N=2$ .)

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Por si alguien quiere ver metapost fuente de la imagen, es la figura 5 de aquí .

Answer 4

$\int_a^{a+T}f(t)dt=\int_a^Tf(t)dt+\int_T^{a+T}f(t)dt,$ y en la última integral, haciendo la sustitución $x=t-T$ obtenemos para $a\in [0,T)$ ya que $f$ es $T$ -periódico $$\int_a^{a+T}f(t)dt=\int_a^Tf(t)dt+\int_0^{a}f(x+T)dx=\int_a^Tf(t)dt+\int_0^{a}f(x)dx=\int_0^T f(t)dt.$$ Para $a\in\mathbb R$ Toma $n\in\mathbb Z$ tal que $a+nT\in [0,T)$ . Entonces $$\int_a^{a+T}f(t)dt=\int_{a+nT}^{a+(n+1)T}f(x-nT)dx=\int_{a+nT}^{a+(n+1)T}f(x)dx=\int_0^Tf(t)dt$$ utilizando el caso anterior.

Answer 5

$$\begin{align} \int_{a}^{a+T}f(x)\ dx&= \int_{T}^{a+T}f(x)\ dx +\int_{a}^{T}f(x)\ dx\\&\overset{y=x-T}{=} \color{red}{\int_{0}^{a}f(y+T)\ dx} +\int_{a}^{T}f(x)\ dx\\&\overset{periodic}{=} \color{red}{\int_{0}^{a}f(y)\ dx} +\int_{a}^{T}f(x)\ dx\\&=\int_0^Tf(x)\ dx. \end{align}$$