Intuición detrás de las operaciones de cohomología

Question

Intento entender las operaciones de cohomología, pero no consigo entender la intuición que hay detrás. ¿Podría alguien explicar la intuición detrás de esto?

Mis antecedentes: Tengo conocimientos básicos de homología y cohomología. Soy un principiante en el tema de las operaciones de cohomología y leí "Operaciones de cohomología" de Mosher.

Answer 1

Podrías empezar con el artículo clásico de Steenrod "Operaciones de cohomología, y obstáculos para la extensión de funciones continuas* que fue reeditado después de su muerte. Y luego haga una búsqueda en la web sobre el tema.

Answer 2

Una intuición detrás del producto copa en cohomología es que es el mapa inducido por los mapas diagonales $ \Delta_X \colon X \to X \times X$ . Estos mapas son naturales con respecto a los mapas $X \to Y$ y el correspondiente $X \times X \to Y \times Y$ por lo que este producto es functorial.

Ahora considere $X^p$ el producto cartesiano de $X$ con ella misma $p$ veces, donde $p$ es un primo. Hay un mapa

$$ T_X \colon X^p \to X^p$$

$$ (x_1,\ldots,x_p) \mapsto (x_2,\ldots,x_p,x_1) $$

que también es natural con respecto a los mapas $X \to Y$ . Los mapas correspondientes $X^p \to Y^p$ te daría un cuadrado conmutativo. La existencia de las potencias de Steenrod, que son operaciones de cohomología para la cohomología con coeficientes en $\mathbb{Z}/p$ , proviene de estos mapas.

Esto es sólo una intuición, los detalles reales son más intrincados y técnicos y utilizan el producto smash en lugar del producto cartesiano. Pero creo que tiene más sentido si se piensa en términos de espacios Eilenberg-MacLane.

Existe una biyección natural

$$ H^n(X;\mathbb{Z}/p) \cong [X,K(\mathbb{Z}/p,n)] $$

donde el lado derecho denota las clases de homotopía de los mapas $X \to K(\mathbb{Z}/p,n)$ entonces se puede pensar en las operaciones de cohomología (para la cohomología con coeficientes en $\mathbb{Z}/p$ ) en términos de mapas $$K(\mathbb{Z}/p,n) \to K(\mathbb{Z}/p,m)$$

Dicho mapa le daría una forma de obtener un elemento de la $m$ La cohomología de $X$ de un elemento del $n$ La cohomología de $X$ por composición. Pero tenemos

$$ [ K(\mathbb{Z}/p,n) , K(\mathbb{Z}/p,m) ] \cong H^m(K(\mathbb{Z}/p,n);\mathbb{Z}/p) $$

y así tenemos una operación de cohomología para cada elemento de estos grupos. De hecho, los anillos de cohomología de $K(\mathbb{Z}/p,n)$ fueron calculados por Cartan y Serre y una base multiplicativa está dada por las potencias de Steenrod y el Bockstein.