¿Media aritmética-geométrica para los racionales?

Question

Dejemos que $\operatorname{AGM}(x,y)$ sea el media aritmética-geométrica de $x$ y $y$ . Dado un error $\varepsilon>0$ , un límite $b\in\mathbb R_+$ y una función $f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ con $f(x)=O(\log x)$ y $f(x)=\Omega(\log\log x)$ para los que los racionales $\frac pq\in\mathbb Q_+$ con $0<p<b$ y $0<q<b$ ¿es posible encontrar $x=\frac{p'}{q'},y=\frac{p''}{q''}\in\mathbb Q$ con $\mathsf{\max}(|p'|,|q'|,|p''|,|q''|)<f(b)$ tal que $$\Bigg|\frac pq-\operatorname{AGM}(x,y)\Bigg|<\varepsilon$$ ¿tiene?

¿Existen métodos explícitos para escribir tales $x,y$ ¿se ha caído?

La densidad de tales representables $\frac pq$ debería ser minúsculo. Sin embargo, ¿hay formas especiales en las que se puede hacer esto? Entonces, ¿hay familias especiales de racionales?

Answer 1

Estos son sólo algunos comentarios.

Desde $x,y>0$ para $AGM(x,y)$ para ser definido, ¿por qué los valores absolutos?

Asumiré $f(\cdot)$ sólo toma valores enteros y que $p’,p’’,q’,q’’ \leq f(b)$

Dejemos que $F(b)$ sea el conjunto de fracciones con numerador y denominador limitados por $b$ . Entonces $|F(b)|<b^2$ y los miembros más grandes son enteros hasta $\frac{b}2$ . Los más pequeños son sus recíprocos. Uno esperaría que las cosas fueran más densas cerca de $1.$

Arreglar $b$ Y que $c=f(b)$ entonces el $|F(c)|$ valores de $x,y$ son todos entre $1/c$ y $c$ así que $p/q$ mejor que sea entre $1/c-\epsilon$ y $c+\epsilon$ . Luego hay algo menos de $\binom{c^2}2$ valores para $AGM(x,y)$ . Cada uno determina un intervalo de radio $\epsilon$ .

Ciertamente podemos obtener todos los racionales en el $\epsilon$ barrios de los miembros de $F(c)$ utilizando $x=y.$ Sólo esos deberían permitir todos los racionales en algún intervalo , dependiendo de $\epsilon$ y que contiene $1$ cerca de su límite inferior. Tomando $x$ cerca de $y$ parece permitir un intervalo mayor.

Más allá de eso sugeriría comenzar con $c=10$ o más pequeño y computando para ver cómo es la colección de intervalos.