Dejemos que $X$ sea el conjunto de todas las funciones continuas y de valor real sobre $\mathbb{R}$ . X es un anillo conmutativo con suma y multiplicación puntual. Sea $\alpha \in \mathbb{R}$ sea arbitraria.
(1) Demuestre que $I = \left\{f \in X \ \big\vert \ f(\alpha) = 0\right\}$ es un ideal máximo de $X$ .
(2) Demuestre que $X/I$ es isomorfo a $\mathbb{R}$
(1)
He intentado visualizar esta tarea. La única razón $I \neq X$ es la posición $\alpha$ donde no puedo crear otro valor distinto de 0 utilizando la traslación o la rotación. Si tomo cualquier función $f'$ para lo cual $f'(\alpha) \neq 0$ se aplica, puedo utilizar el hecho de que $X$ contiene todas las funciones excepto las que no son 0 en $\alpha$ y, por tanto, puede crear cualquier función continua de valor real sobre $\mathbb{R}$ .
Si bien esto parece claro visualizado en el papel, no tengo idea de cómo escribirlo formalmente, ¿me pueden ayudar a formalizarlo? Estoy especialmente atascado porque no sé cómo escribir formalmente todas las funciones continuas de valor real sobre $\mathbb{R}$ .
(2)
Necesito encontrar una biyección entre $X/I$ y $\mathbb{R}$ pero no entiendo por qué esto es posible. Por lo que entiendo $X/I$ son todas funciones continuas de valor real sobre $\mathbb{R}$ que no son $0$ en la posición $\alpha$ . Pero puedo encontrar más de una de esas funciones para cada $r \in \mathbb{R}$ que está en $X/I$ . Entonces, ¿cómo podría encontrar una biyección? ¿Dónde está mi error?
