Solución a un problema general de escalado $G(\lambda z)=\frac{G(z)}{\gamma z^n}$

Question

Al jugar con el problema de la escala

$$G(4z)=\frac{G(z)}{2z}$$

(véase también esta pregunta ) Descubrí, que el problema general

$$G(\lambda z)=\frac{G(z)}{\gamma z}$$ con dos constantes $\lambda,\gamma>0$ puede resolverse mediante

$$G(z)=kz^{\displaystyle{a+b\ln z}},\qquad a=\frac{1}{2}-\frac{\ln\gamma}{\ln\lambda},\qquad b=\frac{-1}{2\ln\lambda}.$$

Pero, ¿cómo se abordaría el problema más general

$$G(\lambda z)=\frac{G(z)}{\gamma z^n}$$ con una potencia libre $n\in\mathbb{N}$ ?

Answer 1

Dejemos que $z=\lambda^u$ ,

Entonces $G(\lambda\lambda^u)=\dfrac{G(\lambda^u)}{\gamma(\lambda^u)^n}$

$G(\lambda^{u+1})=\dfrac{G(\lambda^u)}{\gamma\lambda^{nu}}$

$G(\lambda^u)=\prod\limits_u\dfrac{1}{\gamma\lambda^{nu}}$

$G(\lambda^u)=\gamma^{-u}\lambda^{-n\sum\limits_uu}$

$G(\lambda^u)=\Theta(u)\gamma^{-u}\lambda^{-\frac{nu(u-1)}{2}}$ , donde $\Theta(u)$ es una función periódica arbitraria con período unitario

$G(z)=\Theta(\log_\lambda z)\gamma^{-\log_\lambda z}\lambda^{-\frac{n(\log_\lambda z-1)\log_\lambda z}{2}}$ , donde $\Theta(z)$ es una función periódica arbitraria con período unitario