¿Tiene todo espacio vectorial real una forma bilineal positiva definida simétrica?

Question

¿Todo espacio vectorial real $V$ (posiblemente no de dimensión finita) tienen una forma bilineal positiva definida simétrica? Es decir, un mapa $s:V \times V \rightarrow \mathbb{R}$ tal que: $$\forall v, w \in V:s(v,w)=s(w,v)$$ $$\forall u,v,w \in V\space\forall\lambda\in \mathbb{R}:s(\lambda u + v,w)=\lambda\space s(u,w)+s(v,w)$$ $$\forall v \in V:s(v,v)>0 \Leftrightarrow v \neq 0$$

Answer 1

Utilizar el axioma de la elección para crear una base de Hamel $H$ para $V$ . Así que cada vector $v$ puede escribirse como $\sum_{i=1}^n \alpha_i h_i$ , donde $n \ge 0$ , $\alpha_i \in \mathbb R$ y $h_i\in H$ .

Entonces, para cualquier $h,k \in H$ , set $$ s(h,k) = \cases{ 1 & if $ h = k $ \cr 0 & if $ h \ne k $} $$ y se extienden bilateralmente.