Clase de funciones para las que la integral del recíproco es igual a la integral de la función original

Question

Si sé que para $f$ siempre se cumple lo siguiente: $$f(\pmb{x}) > 0, \pmb{x} \in [0,1]^d$$ $$\int_{[0,1]^d}f(\pmb{x})\,d\pmb{x} = 1$$

Me interesa saber para qué clase de funciones se cumple también lo siguiente: $$\int_{[0,1]^d}\frac{1}{f(\pmb{x})}\,d\pmb{x} = 1$$

Evidentemente, si $f$ es constante ( $f = 1$ ) entonces la primera afirmación es válida, ya que:

$$f(\pmb{x}) = 1 \Rightarrow \frac{1}{f(\pmb{x})} = f(\pmb{x})$$

¿Hay más funciones para las que:

$$ \int_{[0,1]^d}\frac{1}{f(\pmb{x})}\,d\pmb{x} = \int_{[0,1]^d}f(\pmb{x})\,d\pmb{x}$$

Answer 1

$\phi (x)=\frac 1 x$ es una función estrictamente convexa sobre $(0,\infty)$ . $\phi (\int f) \leq \int \phi(f)$ lo que significa $\frac 1 {\int f} \leq \int \frac 1 f$ y la igualdad se mantiene sólo cuando $f$ es una constante. La constante tiene que ser $1$ por supuesto.