Convergencia del movimiento browniano detenido

Question

Supongamos que $B$ , $B_n$ son movimientos brownianos, y escribimos $B^s$ para $B$ se detuvo en la primera vez que se igualó $k$ digamos. (Del mismo modo $B^s_n$ ).

Sé cómo demostrar lo siguiente: si $B_n \to B$ uniformemente en los compactos en probabilidad entonces $B^s_n \to B^s$ uniformemente en los compactos en probabilidad.

La prueba es elemental, pero complicada. ¿Puede alguien proporcionarme una referencia que pueda citar?

Answer 1

Hola, No estoy seguro de que necesites una referencia para esto, ya que se puede probar fácilmente: $\tau_n \to \tau$ (donde $\tau_n$ y $\tau$ son los tiempos de parada relevantes) en probabilidad (ya que para todo $\epsilon>0$ sobre el evento $\tau \le T$ existe $t \in [\tau,\tau+\epsilon]$ tal que $B(t)>K$ ). Ahora, (siempre en el evento $\tau \le T$ ) $$ P(\sup_{s \le T} |B^\tau(s)- B_n^\tau(s)|>\epsilon) \le P(\sup_{s \le T} |B(s)- B_n(s)|>\epsilon \cup |\tau - \tau_n|>\epsilon^4 \cup \sup_{s\in [\tau - \epsilon^4, \tau+\epsilon^4]} |B(s)-K|>\epsilon ) $$ que claramente va a 0 a medida que la probabilidad de cada evento va a 0.

Editar : He olvidado un cuarto evento que se parece al tercero (con $B_n$ en lugar de $B$ ), pero sigue funcionando.