Cómo abordar $\sin x+x<0$ ?

Question

He reducido un problema mayor a la desigualdad $\sin x+x<0$ . De la gráfico de la función parece que la respuesta es $x<0$ .

Pero, por supuesto, mirar el gráfico no es una respuesta formal...

¿Cómo debo abordar una desigualdad de aspecto tan inocente?

Answer 1

La pista: $$(\sin{x}+x)'=\cos{x}+1\geq0$$ y $\sin0+0=0$ .

Solución sin derivados.

Después de sustituir $x$ en $-x$ tenemos que demostrar que $\sin{x}+x>0$ para todos $x>0$ .

De hecho, para $0<x<\pi$ es cierto porque $$\sin{x}+x>x>0,$$ pero para $x\geq\pi$ es cierto porque $$\sin{x}+x\geq-1+\pi>0.$$

Answer 2

Toma $g(x)=\sin x $ , $f(x)=-x$ y trazar los dos. Verás que sólo hay una solución. $x=0$ para $f(x)=g(x)$ .
Esto significa que hay una solución fácil para $x+\sin x <0$
véase la figura siguiente

https://www.desmos.com/calculator/0wmvfmjnjn