Demostrar que la identidad del subgrupo es la misma que la del grupo

Question

Dejemos que $H$ sea un subgrupo de $G$ . Sea $1_H$ y $1_G$ sean las identidades de $H$ y $G$ respectivamente. Demuestre que $1_H=1_G$ . Mis intentos son ya que sabemos que la identidad de un grupo es única , y por lo tanto $1_H=1_G$ . ¿Son ciertas mis pruebas?

Answer 1

Trabajar en $G$ tenemos $1_H1_H=1_H=1_H1_G$ . La primera igualdad se deduce del hecho de que $1_H$ es la identidad de $H$ y $H$ hereda su funcionamiento de $G$ . La segunda se desprende del hecho de que $1_G$ es la identidad de $G$ . Ahora se premultiplica por $1_H^{-1}$ para obtener el resultado.

Answer 2

Saber que la identidad de un grupo es única no es suficiente, ya que al ser una identidad de $H$ no implica directamente ser una identidad de $G$ . Además, las respuestas anteriores han pasado por alto cómo la ley de cancelación depende del elemento de identidad para funcionar. Por ejemplo, al $1_H^{-1}$ nos referimos a un elemento de $G$ tal que $1_H^{-1}1_H=1_G$ ? O un elemento de $H$ tal que $1_H^{-1}1_H=1_H$ ?

Dejemos que $1_H^{-1}$ sea un elemento de $G$ tal que $1_H^{-1}1_H=1_G$ , ya que entonces $1_H=1_G1_H=1_H^{-1}1_H1_H=1_H^{-1}1_H=1_G$ que es lo que queríamos mostrar. (Sólo hemos utilizado la operación de $G$ . La primera igualdad se deduce de $1_G$ siendo la identidad de $G$ la tercera igualdad se deduce de $1_H$ siendo la identidad de $H$ .)

Answer 3

Una pista:

Comience con $1_{H}^2 = 1_{H}$ .

Answer 4

La identidad de $H$ es un elemento de $G$ satisfaciendo $x^2 = x$ y el único elemento de este tipo puede ser $1_G$ .

Answer 5

Dejemos que $h_1, h_2 \in H$ donde $h_2$ es la inversa de $h_1$ . Tenga en cuenta que esto está permitido ya que $H$ es un grupo. Entonces $h_1h_2 = 1_H$ pero $h_1, h_2$ son ambos elementos en $G$ también, así que $h_1h_2 = 1_G$ . Por lo tanto, $1_H = 1_G$ .