Informática $A(x) = \underbrace{x * x * \cdots * x}_{n\ times}$

Question

Dejemos que $*$ sea una operación binaria interna tal que

$$(\forall(x,y)\in \mathbb{R}^2)\ x*y = x \cdot \sqrt{1+y^2} + y \cdot \sqrt{1+x^2}$$

y que $ (\forall \ x \in \mathbb{R})\ f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2} $ sea un homomorfismo biyectivo de $(\mathbb{R},+)$ a $(\mathbb{R},*)$ tal que $f^{-1}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2+1})$

Quiero calcular $A(x) = \underbrace{x * x * \cdots * x}_{n\ times}$

Lo he resuelto de la siguiente manera:

Desde $f$ es un homomorfismo biyectivo de $(\mathbb{R},+)$ a $(\mathbb{R},*)$ entonces $f^{-1}$ es un homomorfismo de $(\mathbb{R},*)$ a $(\mathbb{R},+)$

Utilizando eso da $$f^{-1}(x * x * \cdots * x) = f^{-1}(x) + f^{-1}(x) + \cdots f^{-1}(x)$$

$$\Leftrightarrow f^{-1}(x * x * \cdots * x) = n \cdot f^{-1}(x)$$

$$\Leftrightarrow f(f^{-1}(x * x * \cdots * x)) = f(n \cdot f^{-1}(x))$$

$$\Leftrightarrow x * x * \cdots * x = f(n \cdot \ln(x + \sqrt{x^2+1}))$$

$$\Leftrightarrow A(x) = f(\ln(x + \sqrt{x^2+1})^n)$$

$$\Leftrightarrow A(x) = \frac{(x + \sqrt{x^2+1})^n - (x + \sqrt{x^2+1})^{-n}}{2}$$

¿Es posible simplificar aún más $A(x)$ ?

Answer 1

Las identidades trigonométricas hiperbólicas $\;\sinh(x+y) = \sinh(x)\cosh(y)+\sinh(y)\cosh(x),\;$ y $\cosh(x)=\sqrt{1+\sinh(x)^2}\;$ juntos implican que $\;\sinh(x)*\sinh(y)=\sinh(x+y),\;$ y por lo tanto $\;A(\sinh(x))=\sinh(nx)\;$ que también puede escribirse como $\;A(x)=\sinh(n\sinh^{-1}(x)).\;$ Porque $f(x)=\sinh(x),\;$ esta respuesta es equivalente a la de la pregunta, pero creo que es más sencilla.